什么是2范数、1范数、∞范数？

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在数学和线性代数中，范数（Norm）是一种测量向量大小或长度的工具。以下是常见的三种范数：

1. 2范数（Euclidean Norm）：
   2范数，也称为欧几里得范数，表示向量在欧几里得空间中的长度。对于向量 $\mathbf{v}=(v_1,v_2,\dots ,v_n)$，其2范数定义为：
   $$\Vert \mathbf{v}{\Vert }_2=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots +v_n^2}$$
   这种范数测量的是向量的欧几里得距离。
   
   
   
2. 1范数（Manhattan Norm）：
   1范数，也称为曼哈顿范数或绝对值和范数，表示向量各元素绝对值的总和。对于向量 $\mathbf{v}=(v_1,v_2,\dots ,v_n)$，其1范数定义为：
   $$\Vert \mathbf{v}{\Vert }_1=|v_1|+|v_2|+\cdots +|v_n|$$
   这种范数测量的是向量分量绝对值的总和。
   
   
   
3. 无穷范数（Infinity Norm）：
   无穷范数，也称为最大范数，表示向量各元素绝对值中的最大值。对于向量 $\mathbf{v}=(v_1,v_2,\dots ,v_n)$，其无穷范数定义为：
   $$\Vert \mathbf{v}{\Vert }_{\infty }=\max (|v_1|,|v_2|,\dots ,|v_n|)$$
   这种范数测量的是向量中最大分量的绝对值。
   
   
   

这三种范数各有其应用场景。例如，2范数常用于计算向量之间的欧几里得距离，1范数用于优化问题中的稀疏性约束，而无穷范数则用于测量向量中最大分量的影响。在具体应用中选择合适的范数可以更好地解决实际问题。