反常积分总结

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前言

总结反常积分的定义、判别法与简单计算。

反常积分

通过变限积分的极限来定义反常积分，包括无穷积分和瑕积分。

无穷积分

定义

设函数$f$定义在无穷区间$[a,+\infty )$上，且在任何有限区间$[a,u]$上可积。如果存在极限
$$\underset{u\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{u}f(x)\mathrm{d}x=J,$$
则称此极限$J$为函数$f$在$[a,+\infty )$上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作
$$J={\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x,$$
并称${\int }_a^{u}f(x)\mathrm{d}x$收敛。若极限不存在，亦称发散。

对于$f$在$(-\infty ,+\infty )$上的无穷积分，可以作如下定义
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x={\int }_{-\infty }^{a}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x,\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中$a$为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛，它才收敛。

几点注意

• 无穷积分$(1)$的收敛性与收敛时候的值，都和实数$a$的选取无关；
• $f$在任何有限区间$[v,u]\subset (-\infty ,+\infty )$上，首先必须是可积的。

性质&判别法

• 无穷积分${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$收敛$⟺\forall \epsilon >0,\exists G⩾a$, 只要$u_1,u_2>G$, 便有

  $$\left|{\int }_a^{u_2}f(x)\mathrm{d}x-{\int }_a^{u_1}f(x)\mathrm{d}x\right|=\left|{\int }_{u_1}^{u_2}f(x)\mathrm{d}x\right|<\epsilon .$$

• 若$f$在任何有限区间$[a,u]$上可积，$a<b$，则${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$与${\int }_b^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$同敛态，且有
  $${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_b^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x,$$
  其中等号右边第一项为定积分(正常积分)。
  
  
• 无穷积分${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$收敛$⟺\forall \epsilon >0,\exists G⩾a$, 当$u>G$时, 有

  $$\left|{\int }_u^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x\right|<\epsilon .$$

• 若$f$在任何有限区间$[a,u]$上可积，且有${\int }_a^{+\infty }|f(x)|\mathrm{d}x$收敛，则${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$亦收敛，并有
  $$\left|{\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x\right|⩽{\int }_a^{+\infty }|f(x)|\mathrm{d}x.$$
  当${\int }_a^{+\infty }|f(x)|\mathrm{d}x$收敛，称${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$为绝对收敛。
  
  

  此性质表明绝对收敛的无穷积分自身也一定收敛。

  收敛而不绝对收敛：条件收敛。

• 比较原则：大函数的无穷积分收敛则小函数的无穷积分收敛(小发散则大发散)。
• 柯西判别法：设函数$f$定义于$[a,+\infty )$且在任何有限区间$[a,u]$上可积，则有

  则有

  • 当$0⩽f(x)⩽\frac{1}{x^p},x\in [a,+\infty )$，且$p>1$时，${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$收敛；
  • 当$f(x)⩾\frac{1}{x^p},x\in [a,+\infty )$，且$p⩽1$时，${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$发散；
• 狄利克雷判别法：

  若$F(u)={\int }_a^{u}f(x)\mathrm{d}x$在$[a,+\infty )$上有界，$g(x)$在$[a,+\infty )$上当$x\to +\infty$时单调趋于$0$，则${\int }_a^{+\infty }f(x)g(x)\mathrm{d}x$收敛。(有界+单调趋于0=>收敛)

• 阿贝尔判别法：

  若${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$收敛，$g(x)$在$[a,+\infty )$上单调有界，则${\int }_a^{+\infty }f(x)g(x)\mathrm{d}x$收敛。(收敛+单调有界=>收敛)

瑕积分

定义

设函数$f$定义在$(a,b]$上，在点$a$的任一右邻域上无界，但在任何内闭区间$[u,b]\subset (a,b]$上有界且可积。如果存在极限
$$\underset{u\to a^{+}}{\lim }{\int }_u^{b}f(x)\mathrm{d}x=J,$$
则称此极限为无界函数$f$在$(a,b]$上的反常积分，并记为
$$J={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x,$$
并称反常积分${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$收敛，如果极限不存在，发散。

• 被积函数$f$在点$a$近旁是无界的，点$a$称为$f$的瑕点。

性质&判别法

• 瑕积分${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$(瑕点为$a$)收敛$⟺\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$, 只要 $u_1,u_2\in (a,a+\delta )$, 总有
  $$\left|{\int }_{u_1}^{b}f(x)\mathrm{d}x-{\int }_{u_2}^{b}f(x)\mathrm{d}x\right|=\left|{\int }_{u_1}^{u_2}f(x)\mathrm{d}x\right|<\epsilon .$$
  
• 柯西判别法：设$f$定义于$(a,b]$, $a$为其瑕点，且在任何$[u,b]\subset (a,b]$上可积，则有：
  • 当$0⩽f(x)⩽\frac{1}{(x-a{)}^p},x\in [a,+\infty )$，且$0<p<1$时，${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$收敛；
  • 当$f(x)⩾\frac{1}{(x-a{)}^p},x\in [a,+\infty )$，且$p⩾1$时，${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$发散；

其余性质与无穷积分类似，只需将上限替换为$b$。