《点和直线投影及位置关系》

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再简单的问题，也需要认真推导！

直线方程

• 点斜式：$y-y_0=k(x-x_0)$
• 斜距式：$y=kx+b$
• 两点式：$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$ （不包括垂直坐标轴直线）
• 截距式：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$
• 一般式：$Ax+By+C=0$ （AB不同时为0）
• 已知直线上两点$P_1(x_1,y_1)$ 和 $P_2(x_2,y_2)$，和直线外一点$P_3(x_3,y_3)$
  • 求投影点$P_0(x_0,y_0)$ 坐标
  • 求点和直线位置关系

点在直线投影

直线求交点

$$
P_1P_2: y=k_{12}x+b_{12} \
P_0P_3: y=k_{03}x+b_{03} \

\begin{cases}
x_1,x_1 = x_2 \
y_1,y_1 = y_2 \
x = \frac{b_{03} – b_{12}}{k_{12} – k_{03}},other
\end{cases}
$$

def cal_proj1(P1, P2, P3): if P1[0] == P2[0]: x = P1[0] y = P3[1] elif P1[1] == P2[1]: x = P3[0] y = P1[1] else: k_12 = (P2[1]-P1[1]) / (P2[0] - P1[0]) b_12 = P1[1] - k_12 * P1[0] k_03 = -1/k_12 b_03 = P3[1] - k_03 * P3[0] x = (b_03 - b_12) / (k_12 - k_03) y = k_12 * x + b_12 return [x, y] 

向量点积

$$
k * \vec{P_{12}} = \vec{P_{10}} \
k = \frac{|\vec{P_{10}}|}{|\vec{P_{12}}|} = \frac{|\vec{P_{13}}| * cos(∠P_3P_1P_2)}{|\vec{P_{12}}|} = \frac{\vec{P_{13}}.\vec{P_{12}}}{|\vec{P_{12}}|^2} \

def cal_proj2(P1, P2, P3): P_12 = [P2[0]-P1[0], P2[1]-P1[1]] P_13 = [P3[0]-P1[0], P3[1]-P1[1]] k = (P_12[0] * P_13[0] + P_12[1] * P_13[1]) / (math.pow(P_12[0], 2) + math.pow(P_12[1], 2)) x = k * P_12[0] + P1[0] y = k * P_12[1] + P1[1] return [x, y] 

点和直线关系

• 点在直线上
• 点在直线左右
• 点在直线上下

直线方程

• 求直线方程
  • 已知x，求y估计和y关系
  • 已知y，求x估计和x关系

def lf_relation_between_line_and_point(P1, P2, P3): if P1[0] == P2[0]: if P3[0] == P1[0]: return 0 elif P3[0] < P1[0]: return -1 # left else: return 1 # right elif P2[1] - P1[1] == 0: # 水平无左右？ return 0 else: k = (P2[1] - P1[1]) / (P2[0] - P1[0]) b = P1[1] - k*P1[0] x_ = (P3[1] - b) / k if x_ == P3[0]: return 0 elif x_ < P3[0]: return 1 else: return -1 def tb_relation_between_line_and_point(P1,P2,P3): if P2[0] - P1[0] == 0:# 垂直无上下？ return 0 k = (P2[1] - P1[1]) / (P2[0] - P1[0]) b = P1[1] - k * P1[0] y_ = k * P3[0] + b if y_ == P3[1]: return 0 elif y_ < P3[1]: return -1 # bottom else: return 1 # up 

向量叉积

• 通过它的符号判断两矢量相互之间的顺逆时针关系

若 P × Q > 0 , 则P在Q的顺时针方向。
若 P × Q < 0 , 则P在Q的逆时针方向。
若 P × Q = 0 , 则P与Q共线，但可能同向也可能反向。

• 满足右手螺旋准则

def lf_relation_between_line_and_point2(P1,P2, P3): if P1[1] == P2[1]: # 水平无左右 return 0 # 确定vector方向 elif P1[1] > P2[1]: v1 = [P1[0] - P2[0], P1[1] - P2[1]] v2 = [P3[0] - P2[0], P3[1] - P2[1]] elif P1[1] < P2[1]: v1 = [P2[0] - P1[0], P2[1] - P1[1]] v2 = [P3[0] - P1[0], P3[1] - P1[1]] # v1 x v2 A_cross_B = v1[0] * v2[1] - v1[1] * v2[0] if A_cross_B > 0: return -1 elif A_cross_B < 0: return 1 else: return 0 def tb_relation_between_line_and_point2(P1,P2,P3): if P1[0] == P2[0]: # 垂直无上下 return 0 # 确定vector方向 elif P1[0] > P2[0]: v1 = [P1[0] - P2[0], P1[1] - P2[1]] v2 = [P3[0] - P2[0], P3[1] - P2[1]] elif P1[0] < P2[0]: v1 = [P2[0] - P1[0], P2[1] - P1[1]] v2 = [P3[0] - P1[0], P3[1] - P1[1]] # v1 x v2 A_cross_B = v1[0] * v2[1] - v1[1] * v2[0] if A_cross_B > 0: return -1 elif A_cross_B < 0: return 1 else: return 0