非线性动力系统基础1——数值解和解析解的区别

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一、基本概念

1. 数值解的概念

数值解(numerical solution)是指在特定条件下通过近似计算得出来的一个数值，是采用某种计算方法，如有限元的方法、数值逼近、插值的方法得到的解。

例如，求微分方程的初值问题

$\frac{dy}{dx}=f(x,y), y(x_{0})=y_{0}$

的解 y=y(x) ，可以从初值条件 $y(x_{0})=y_{0}$ 出发，按照一定的步长h，依据某种方法逐步计算微分方程解y(x)的近似解 $y_{n}\approx y(x_{_{n}})$ ，这里 $x_{n}=x_{0}+n\cdot h$ 。这样求出的解称为数值解。

2. 解析解的概念

解析解(analytical solution)，就是给出解的具体函数形式，从解的表达式中就可以算出任何对应值。即包含分式、三角函数、指数、对数甚至无限级数等基本函数的解的形式。给出解的具体函数形式，从解的表达式中就可以算出任何对应值。用来求得解析解的方法称为解析法，解析法是常见的微积分技巧，如分离变量法等。

二、数值解法优势及常用方法

1. 欧拉法

2. 龙格-库塔法

龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。

该算法是构建在泰勒级数的基础之上的。对于一阶精度的拉格朗日中值定理有：

对于微分方程：y’=f(x,y)

当用点xi处的斜率近似值K1与右端点xi+1处的斜率K2的算术平均值作为平均斜率K*的近似值，那么就会得到二阶精度的改进拉格朗日中值定理：

依次类推，如果在区间[xi,xi+1]内多预估几个点上的斜率值K1、K2、……Km，并用他们的加权平均数作为平均斜率K*的近似值，显然能构造出具有很高精度的高阶计算公式。经数学推导、求解，可以得出四阶龙格－库塔公式，也就是在工程中应用广泛的经典龙格－库塔算法：

通常所说的龙格-库塔法是指四阶而言的，我们可以仿二阶、三阶的情形推导出常用的标准四阶龙格-库塔法公式。

三、解析解法优势及常用方法

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