【数据结构——有向图】有环无环判定、拓扑排序（DFS、BFS）

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1. 什么是有向图

有向图（Directed Graph），也被称为有向图形或方向图，是一种图的类型。在有向图中，图中的边具有方向，从一个顶点指向另一个顶点。

在有向图中，每个顶点表示一个实体，而有向边则表示实体之间的关系或连接。这种有方向性的边表明了连接的起点和终点之间的单向关系。因此，有向图中的边具有起点和终点的概念，它们不能逆转方向。

与有向图对应的是无向图（Undirected Graph），在无向图中，边是没有方向的，可以双向移动。相比之下，有向图更适合描述具有明确方向性的关系，例如有向的路径、进程之间的依赖关系等。

有向图可以用来解决许多问题，如拓扑排序、最短路径、网络流等。它在计算机科学、图论、网络分析等领域都有广泛的应用。

2. 什么是拓扑排序

拓扑排序（Topological Sort）是对有向无环图（DAG）进行排序的一种算法。它将有向图的所有顶点排列成线性序列，使得对于任何的有向边 (u, v)，顶点 u 都在序列中排在顶点 v 的前面。

拓扑排序的应用场景通常涉及到任务或事件之间的依赖关系，其中每个顶点表示一个任务或事件，有向边表示依赖关系。通过拓扑排序，可以确定这些任务或事件的执行次序，以满足依赖关系的约束。

拓扑排序算法的实现过程如下：

1. 找到没有前置依赖的顶点，即入度为0的顶点，并将其加入结果序列中。
2. 从图中删除该顶点及其相关的边，即更新其他顶点的入度。
3. 重复步骤1和步骤2，直到图中所有顶点都被添加到结果序列中，或者无法找到入度为0的顶点为止。
4. 如果图中存在环路，则无法进行拓扑排序(或者排序得到的数组集合不等于节点总数），因为环路意味着存在循环依赖。

拓扑排序可以通过深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来实现。其中，DFS算法更常用，它可以按照深度优先的顺序遍历图，并在遍历完成后逆序得到拓扑排序结果。

拓扑排序的时间复杂度为O(V+E)，其中V和E分别是图中的顶点数和边数。

2. 有向图的拓扑排序

例如有向图：[[1,0],[2,0],[3,1],[4,3],[4,2],[5,4]] 数组后面的元素指向前面的元素

2. 1 BFS 广度优先

• 广度优先搜索需要依赖一个节点的入度数组如下：（当然这里节点也作为数组下标，如果节点和下标不能一一对应，可以使用一个map哈希表去记录下节点与入度的映射表）

• 然后还需要准备一个节点指向集合，记录节点与节点的指向关系（后续依照这个指向将被指向的节点的入度做减一操作）
  
  
• 最后就是准备一个队列，队列中依次加入入度为0 的节点，并且队列的出队顺序即为
• 再根据节点指向集合，若被指向的节点入度为0，那么此时把入度为0的节点加入到队列循环，直到没有入度为0 的节点

模板代码：

 public int[] findOrder(int numCourses, int[][] prerequisites) { 
    int[] cou = new int[numCourses];//节点入度数组 int[] num = new int[numCourses];//用于存储拓扑排序 List<List<Integer>> couList = new ArrayList<>();//指向与被指向的集合映射 Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();//辅助队列 用于处理入度为0 的节点 for(int i = 0 ;i<numCourses ;i++)//给集合中节点与被指向节点初始化集合 couList.add(new ArrayList<Integer>()); for(int[] pre : prerequisites){ 
    cou[pre[0]]++;//统计各节点的入度 couList.get(pre[1]).add(pre[0]);//给集合中父节点设置指向子节点的子集合 } for(int i = 0 ;i<numCourses ;i++){ 
    if(cou[i] == 0) queue.offer(i);//搜索第一个入度为0 的节点 加入队列 } int i = 0;//用于将拓扑排序加入到一个数组用的下标 while(!queue.isEmpty()){ 
    int ids = queue.poll(); numCourses--;//取出一个元素 就让节点总数-1 num[i] = ids;//拓扑排序 取出的元素加入到数组 for(int cur : couList.get(ids)){ 
   // couList.get(ids) 根据节点 取出父节点指向的子节点 让被指向的子节点入度 -1 if(cou[cur] >= 1 ) cou[cur]--; if(cou[cur] == 0 ) queue.offer(cur);//若当前节点入度为0 则加入队列 } i++; } if(numCourses == 0) return num; // 若 numCourses（节点总数） 不等于0说明 说明最后还有入度不为0的节点，没有被处理，说明有环，则无拓扑排序 // 或者如果拓扑排序数组num的长度 不等于节点总数 说明拓扑排序不完整，说明无拓扑排序 else return new int[0]; } 

2. 2 DFS 深度优先

• 深度优先搜索需要依赖一个节点的辅助数组默认都为0如下：（当然这里节点也作为数组下标，如果节点和下标不能一一对应，可以使用一个map哈希表去记录下节点与辅助值的映射表）
  
  标记值为0：代表搜索起点（dfs入口）
  标记值为1：代表搜索中（如果搜索中碰到值标记值为1的节点，说明有环）
  标记值为2：代表搜索完成（搜索过程无环）
  
  
  
  
• 然后还需要准备一个节点指向集合，记录节点与节点的指向关系（后续依照这个指向将被指向的节点的值做标记）
  
  
• 最后当标记值为2的时候，就代表此次dfs无环，利用一个栈将标记值为2的节点加入到栈中（栈的加入顺序就是拓扑排序的顺序）
• 需要一个标志位（初始为true），如果搜索中dfs碰到节点值为1的节点的时候，代表出现了环，则直接将标志位标为false，结束此次递归

 List<List<Integer>> cousList; int[] cous; boolean valid = true; public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) { 
    cous = new int[numCourses];// 构造标志位 初始化全部位0 长度为节点数 cousList = new ArrayList<>();//给集合中节点与被指向节点初始化集合 for(int i = 0 ;i < numCourses ; i++) //指向（父节点）与被指向（子节点）的集合映射 cousList.add(new ArrayList<>()); for(int[] pre : prerequisites){ 
   //给集合中父1节点设置指向子节点的子集合 cousList.get(pre[1]).add(pre[0]); } for(int i = 0 ; i<numCourses ; i++){ 
   // if(cous[i] == 0) dfs(i); //等于0未搜索过 进入dfs } return valid; } public void dfs(int c){ 
    cous[c] = 1; for(int cur : cousList.get(c)){ 
   //遍历该父节点的子节点集合 if(cous[cur]==0){ 
   //如果指向的节点未搜索过，则深搜 dfs(cur); if(!valid){ 
    return; } }else if(cous[cur]==1){ 
   //如果指向节点在搜索中，则有环，标记Vaild valid = false; return; } } cous[c]=2;//因为节点已经完成深搜，所以标记它的状态搜索完成 } // 方法二 dfs 深度优先 int[] cou = null;// 设置全局变量 方便dfs使用 int[] num = null; List<List<Integer>> couList = null; boolean valid = true; Deque<Integer> queue = null; public int[] findOrder(int numCourses, int[][] prerequisites) { 
    this.cou = new int[numCourses];// 构造标志位 初始化全部位0 长度为节点数 this.queue = new LinkedList<>();//用于配合输出拓扑排序 this.num = new int[numCourses];//用于存储拓扑排序 this.couList = new ArrayList<>();//给集合中节点与被指向节点初始化集合 for(int i = 0 ;i<numCourses ;i++)//指向（父节点）与被指向（子节点）的集合初始化 couList.add(new ArrayList<Integer>()); for(int[] pre : prerequisites){ 
    couList.get(pre[1]).add(pre[0]);//指向（父节点）与被指向（子节点）的集合映射 } for(int i = 0 ; i<numCourses ;i++){ 
    if(cou[i] == 0) dfs(i);//等于0未搜索过 进入dfs } if(queue.size() != numCourses) return new int[0]; //如果dfs完成之后 栈内元素个数不等于节点总数 说明 拓扑排序不完整，存在环，自然不能将全部节点遍历完， else{ 
   //否则就代表无环 可以得到完整的拓扑排序 for(int i = 0 ; i<numCourses ; i++){ 
    num[i] = queue.pop();//将压栈的节点取出来 放到数组里面 } } return num; } public void dfs(int i){ 
    cou[i] = 1; for(int cur : couList.get(i)){ 
   //遍历该父节点的子节点集合 if(cou[cur] == 0){ 
   //节点标记数组对应的值等于 0 继续递归 dfs(cur); if(!valid) return ; //根据标记为判断是否有环 有环说明不能得到拓扑排序 直接返回 不往下面执行了 }else if(cou[cur] == 1){ 
   //如果搜索中存在环 将标志位设为fasle  valid = false; return; } } //一次遍历结束无环 就让该遍历元素位置的节点数组数值置为 2 代表以该点进行dfs 无环 cou[i] = 2; queue.push(i); //让该dfs完的节点压栈 为什么要压栈 因为最后的拓扑排序，就是栈的出栈顺序 } 

3. 有向图有环无环判定

具体怎么判定有环和无环：

BFS下：

本身这两种判断方式原理是一样的，如果节点都能根据箭头遍历得到，自然得到的拓扑排序数组的长度就是节点总数，否则拓扑排序数组的长度不等于节点总数，说明有节点并没有遍历到，说明存在了环。

1. 第一种判断方式：如果最后得到的数组（拓扑排序）的长度不等于节点总数，则代表有环，使得bfs并没有按照箭头指向走完整个图，所以出现了环
2. 第二种判断方式：每次让队列弹出一个入度为0的节点时，让节点总数减1，如果最后节点总数 == 0，说明无环，每个元素都被bfs到了

DFS下：

1. 最后的栈里面存的就是遍历到的节点，如果最后dfs结束后的栈的大小不等于节点总数，说明有节点没有被遍历到，说明出现了环，否则如果栈的大小等于节点数，代表都遍历到了，该图无环

栈的出栈顺序就是拓扑排序的循序