【信号与系统】笔记一（1分类2基本信号）

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1 信号的分类

分类1：确定与随机、连续与离散

1. 确定信号：可用一确定时间/空间函数表示，比如连续的u(t)，离散的u(i, j)。
   随机信号：只知统计特性（概率等），比如噪声、干扰信号。
   
2. 确定信号分为连续信号和离散信号。
   连续信号：连续时间范围内有定义。
   离散信号：仅在离散的瞬间有定义，可以等间隔也可以不等间隔。
   两者主要区别为定义域的连续性。
   注意1：连续信号值域无所谓连续不连续。
   注意2：两个离散信号有值的点之间无定义，而非0值。
   
   
   
   
   
3. 序列：等间隔的离散信号，$T_k=t_{k+1}-t_k=T$。$f(kT)$简写为$f(k)$。
   离散信号表示法：
   （1）有限——穷举法，如：$$f(k)=\{\begin{array}{ll}1& \text{k=-1}\\ 2& \text{k=0}\\ -1.5& \text{k=1}\\ 2& \text{k=2}\\ 0& \text{其他k}\end{array}$$
   （2）写为序列：需要标出其他（即下面的省略号，最临近省略号的值0即为省略号处代表的值）、坐标原点（在下面2处画箭头，写上$k=0$） f ( k ) = { . . . , 0 , 1 , 2 , − 1.5 , 2 , 0 , . . . } f(k)=\{…, 0, 1, 2, -1.5, 2, 0, …\} f(k)={
   …,0,1,2,−1.5,2,0,…}
   
   
   
4. 采样：连续信号变为离散信号
   方法：零阶保持、分段线性
   
   上面这张图片出处
   
   
   

分类2：周期与非周期

一、连续信号周期

1. 周期信号定义：$f(t)=f(t+nT),n=0,\pm 1,\pm 2,\dots$
2. 周期合成
   （1）两个周期信号$T_1,T_2$，若$\frac{T_1}{T_2}$为有理数，则两信号合成仍为周期信号，新周期为$T_1,T_2$最小公倍数。
   有理数：整数和分数，故$T_1,T_2$变换顺序不影响。
   （2）若多个周期信号$T_i$合成后的信号仍为周期信号，且$T_{合成}=m_i{T}_i$，则有：$$m_1:m_2:m_3=\frac{T}{T_1}:\frac{T}{T_2}:\frac{T}{T_3}=\frac{w_1}{2\pi }:\frac{w_2}{2\pi }:\frac{w_3}{2\pi }=w_1:w_2:w_3$$
   
   
   

二、离散信号周期

1. 定义：$f(k)=f(k+mN),m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$，$N$是周期。
2. 判断是否为周期函数：求出$N$。

$e.g.f(k)=sin(\beta k)=sin(\beta k+m\ast 2\pi )=sin[\beta (k+\frac{2m\pi }{\beta })]$，利用函数性质得到周期函数定义式，从而得到$N=\frac{2m\pi }{\beta }$，再对$N$进行讨论。

三、结论

1. 连续的正弦信号一定是周期信号；
   正弦序列不一定是周期序列。
   理解：根据上面例子，$N=\frac{2m\pi }{\beta }$，若$\beta$含有$\pi$，则满足$N$为整数或有理数，$\beta$取其他值无法保证$f(k)$周期性。
   
   
2. 两连续周期信号之和不一定是周期信号；
   两周期序列之和一定是周期序列。
   

分类3：能量与功率

1. 定义能量和功率
   单位时间在$1\Omega$电阻上施加信号$f(t)$，$P_{瞬时}(t)=|f(t){|}^2$，进而积分得到能量定义式：$$E\stackrel{def}{=}{\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t){|}^{2}dt$$或者理解为：$E\stackrel{def}{=}{\lim }_{T\to \infty }{\int }_{-T}^T|f(t){|}^{2}dt$
   平均功率：$$P\stackrel{def}{=}\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|f(t){|}^{2}dt$$同样可以看成：$P\stackrel{def}{=}{\lim }_{T\to \infty }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T|f(t){|}^{2}dt$
   
   

能量和功率各自有有限、无限、零三种情况，组合起来共六种情况。除去不合理的“有限能量+无限功率”、“零能量+无限功率”、“零能量+有限功率”三种组合，还剩下合理的：

组合	种类	示例
无限能量+无限功率	非功非能信号	无限延伸单调波形
无限能量+有限功率	功率（有限）信号	无限延伸正弦波、无限长白噪声
有限能量+零功率	能量（有限）信号	孤零零的方波信号、冲激函数

2. 能量（有限）信号：$E<\infty ,P=0$
   功率（有限）信号：$E=\infty ,P<\infty$
   定义信号种类目的：$E$同则用$P$衡量，$P$同则用$E$衡量。
   
   
3. 对离散信号
   （1）能量信号：$E={\sum }_{k=-\infty }^{\infty }|f(k){|}^2<\infty$
   （2）功率信号：$P={\lim }_{N\to \infty }\frac{1}{2N}{\sum }_{-N}^N|f(k){|}^2<\infty$
   
   
4. 结论
   （1）时限信号一定是能量信号。时限信号：仅在有限时间内不为0。
   （2）周期信号一定是功率信号。
   （3）非周期信号可能是能量或者功率。
   （4）非功非能信号举例：$y=e^t$
   
   
   
   

借鉴了这篇博客，讲得比网课清楚

分类4：因果与反因果

1. 因果信号：$t<0,f(t)=0$
2. 反因果信号：$t>0,f(t)=0$

matlab仿真：plot和stem

clear;clc; % 连续信号仿真 figure(1); a=5; b=0.8; t=0:0.001:5; x=a*sin(b*t).*exp(t); plot(t,x); % 离散信号仿真 figure(2); c=2; d=0.8; k=-5:1:5; y=c*d.^k; stem(k,y); 

2 基本信号

全课程三个关键问题：（1）基本信号及基本响应（2）任意信号的分解（3）LTI系统分析

2.1 阶跃函数

1. 定义：构造${\gamma }_n(t)=\frac{1}{n}$
   $$\epsilon (t)\stackrel{def}{=}\underset{n\to \infty }{\lim }{\gamma }_n(t)=\{\begin{array}{ll}0& \text{t<0}\\ 1& \text{t>0}\end{array}$$
   
2. 性质：
   （1）用于表示分段常量信号
   （2）用于表示信号作用区间
   （3）积分${\int }_{-\infty }^t\epsilon (t)dt$为斜坡函数
   
   
   

2.2 冲激函数

2.2.1 与阶跃函数关系

左图${\lim }_{n\to \infty }$为阶跃函数，右图${\lim }_{n\to \infty }$为冲激函数。
$$\delta (t)=\frac{d\epsilon (t)}{dt},\epsilon (t)={\int }_{-\infty }^t\delta (t)dt$$

2.2.2 作用

描述间断点的导数。

$\delta (t)$为奇异函数。

2.2.3 两种定义：描述性定义&广义函数定义

1. 冲激函数的描述性定义
   $$\{\begin{array}{ll}\delta (t)=0& t\ne 0\\ {\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)dt=1& \end{array}$$
   
2. 冲激函数的广义函数定义
   $${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)\phi (t)dt=\phi (0)$$
   
   广义函数：
   
   
   

【概念】定义在一类“性质很好”的函数空间上的连续线性泛函。$$N_g[\phi (t)]={\int }_{-\infty }^{\infty }g(t)\phi (t)dt$$

泛函可以理解为函数的函数，其自变量为函数，称为宗量。 

【定义广义函数的思想】不再通过改变定义域内每一个点的坐标对应的函数值来定义函数$f$（古典函数定义方式），而是通过观察$f$对其他函数所起的作用来定义函数。
【性质】当两个函数产生结果一样时，这两个函数一样。（见尺度变化）

2.2.4 取样性质

1. 由$f(t)\delta (t)=f(0)\delta (t)$
   $${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t)dt=f(0){\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)dt=f(0)$$注意：积分区间必须包含冲激所在时刻。
   
2. 推广：${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t-a)dt=f(a)$
3. 举例（这几个例子常考很重要）
   变上限积分注意对上限的讨论：$${\int }_{-1}^t(\tau -1{)}^2\delta (\tau )d\tau =\epsilon (t)$$讨论积分区间是否包含冲激所在时刻：$${\int }_{-1}^{1}2\tau \delta (\tau -t)d\tau =\{\begin{array}{ll}2t& \text{-1<t<1}\\ 0& \text{else}\end{array}$$
   

2.2.5 导数

1. ${\delta }^{{}^{\prime }}(t)$冲激偶
   （1）广义函数定义$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t){\delta }^{{}^{\prime }}(t)dt=-f^{{}^{\prime }}(0)$$（2）性质$$f(t){\delta }^{{}^{\prime }}(t)=f(0){\delta }^{{}^{\prime }}(t)-f^{{}^{\prime }}(0)\delta (t)$$推导：分部积分+取样性质
   （3）推广$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t){\delta }^{{}^{\prime }}(t-a)dt=-f^{{}^{\prime }}(a)$$
   
   

   $\delta (t)=\delta (-t)$，冲激函数为偶函数；
   ${\delta }^{{}^{\prime }}(t)=-{\delta }^{{}^{\prime }}(-t)$，冲激偶为奇函数。
   

2. ${\delta }^{(n)}(t)$n阶导
   广义函数定义$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t){\delta }^{(n)}(t)dt=(-1{)}^n{f}^{(n)}(0)$$
   

2.2.6 尺度变化

1. 由广义函数性质，效果相同的两函数一样，则有$$\delta (at)=\frac{1}{|a|}\delta (t)$$证明：
   $a>0,{\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (at)f(t)dt={\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (x)f(\frac{x}{a})\frac{dx}{|a|}$
   $a<0,{\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (at)f(t)dt={\int }_{\infty }^{-\infty }\delta (at)f(t)dt={\int }_{\infty }^{-\infty }\delta (x)f(\frac{x}{a})\frac{dx}{-|a|}={\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (x)f(\frac{x}{a})\frac{dx}{|a|}$
   $${\delta }^{(n)}(at)=\frac{1}{|a|}\frac{1}{a^n}{\delta }^{(n)}(t)$$
   
   
   
2. 推论：
   （1）$a=-1,{\delta }^{(n)}(-t)=(-1{)}^n{\delta }^{(n)}(t)$
   （2）$\delta (at-t_0)=\delta [a(t-\frac{t_0}{a})]=\frac{1}{|a|}\delta (t-\frac{t_0}{a})$