高等数学二从零开始学习的总结笔记（已经完结）

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高等数学

一、函数、极限、连续

1.等价无穷小的使用

在x->0时，等价无穷小 尤其重要，在题目中经常会使用 

2.x^x型求极限

形如x^x的求极限的题目 1.利用e^(lnx)=x来转换 2.或者利用一个重要极限lim(1+x)^(1/x) = e,x->0和lim(1+1/x)^x = e,x ->∞ 

例如x^x,可以转换成e^xlnx，然后对t = xlnx求极限即可，最后求出e^t即为结果。

3.提取

有时候遇到一些积分，不太好算，但是其单个求极限为常数，可以提取出去lim(ax*bx) = lim(ax)*lim(bx) 

例如lim tanx-sinx/(x^3) 可以提取出tanx/x，最后转换为(tanx/x) * (1-cosx)/x²

4.√a-√b型

这种只有一种方式一般 转换为a-b/(√a+√b)

5.间断点的判断

求x = x0处的左右极限 1.左右极限都存在，第一类间断点 lim左=lin右 =>可去间断点 lim左!=lim右 =>跳跃间断点 2.非一类间断点即为第二类间断点 

判断间断点，一般判断分段点，和无定义点，例如1/x,x = 0即为无定义点

6.有界和极限存在

遇到有界就用y = 1和-1不断循环的，不收敛但有界来判断就行。 判断数列极限存在，一般利用归纳法,并且判断出 有下界+递减 或者 有上界+递增 然后一般假设lim an = A ,n->∞ ,然后根据an+1和an的公式同时求极限，就可以算出A 

7.同阶无穷小判断未知数

例如，已知sinx ~ ax^b等价无穷小 ,当然题目不会给这么简单，大致方法就是把sinx/ax^b然后不断求，利用同阶无穷小和洛必达等，把上面(sinx)变为常数级别或者比较低阶，假如最后为1/ax^b-1就可以判断出b-1=0，所以b=1，然后再带回b=1,重新算一次，就可以得出a

8.x->∞

大多数情况上下同除最高阶,或者利用lim(1+1/x)^x x=>∞来求解 

9.x^x精度问题

由于使用lim(1+1/x)^x ~ e, x->∞是近似等于e,所有有些题可能会导致答案不正确，但大部分题目都没有问题，如果精度不够就使用e^lnx的形式来做题
例如：lim(1+1/x)^x*x /e^x = e^-1/2，x->∞,如果使用lim(1+1/x)^x ~ e, x->∞,结果就为1

10.a+b/x^n

如果a/xⁿ和b/xⁿ的极限均存在，则可以将lim a+b/xⁿ转换为lim a/xⁿ+lim b/xⁿ
例如：lim sin6x +xf(x)/x³ x->0
可以转换如下：lim sin6x-6x/x³+lim xf(x)/x³ x->0

11.求n->∞数列的求极限

12.包含积分的求极限

其中a = 0,b = x，只需求导一次，即可转换为f(x)，一般这种题一定会让至少使用一次洛必达定理

13.三角函数包含三角函数,sin(sinx)

14.x->-∞的情况

1.可以转换为t = -x，t->+∞，单纯需要变号好算的时候使用，例如，√a+x => √a -√t²
2.注意1/x和e^x的使用，他们在趋近与-∞和+∞的结果不一样

15.f(b)-f(a)类型

16.法线和切线方程

17.含t变量求导数

18.极大值和极小值的判断

19.是否可导和连续的判断

因为有些不能直接求f’(x)来运算
首先y = f(x)在a点的导数可以用如下公式计算

然后分别求在a⁺和a^–的导数，若不相同且都存在，则可导

求连续，求在a⁺和a^–的极限是否相同

例如e^1/x在0点f(0-0) = 0，f(0+0) = +∞，所以不连续

积分

微分方程

3.二阶微分方程

if f(x) = f1(x) + f2(x)

t2’(1) : y’‘+p(x)y’+q(x) = f1(x) t2’(2) : y’‘+p(x)y’+q(x) = f2(x)

4.二阶常系数微分方程

特性：齐次线性方程组的解和为0，依旧为齐次的解,例如y1,y2为y的解，那么y1-y2依旧为y的解 ：非齐次时，和为1，依旧为非齐次的解，例如y1,y2为y的解，那么y1/2+y2/2依旧为y的解