【现代控制系统】LTI系统的反馈结构和状态估计器

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LTI系统的反馈结构和状态估计器

1. 线性系统的反馈结构

$$\dot{x}=Ax+Bu,y=Cx$$
一个输出反馈的性能，一定有对应的状态反馈系统与之等同。
但对一个状态反馈系统，却不一定有对应的输出反馈系统与之等同。
对可控可观性的影响

1. 状态反馈不改变系统的可控性，但可能改变系统的可观性
2. 反馈至参考输入的输出反馈不改变系统的可控可观性
3. 输出至参考输入的反馈能同时不改变系统的可控可观性，即输出反馈系统可控（可观）的充要条件为被控系统可控（可观）

对系统稳定性的影响

1. LTI系统的渐进稳定条件：系统矩阵的特征值均具有负实部
2. 两种反馈均有可能改变特征值，均有可能镇定系统。

镇定问题 通过反馈，使构成的闭环系统成为稳定系统，则称之为镇定。

1. 当且仅当LTI系统的不可控部分渐近稳定时，系统是状态反馈可镇定的。

1.1 状态反馈/线性直接状态反馈

$$u=v+Kx$$
x ˙ = ( A + B K ) x + B v    ,    y = C x    ,    { A + B K , B , C } \dot x=(A+BK)x+Bv \,\,,\,\, y=Cx \,\,,\,\, \{ A+BK,B,C\} x˙=(A+BK)x+Bv,y=Cx,{
A+BK,B,C}
$$G_K(s)=C(sI-A-BK{)}^{-1}B$$
引入状态反馈后的输出方程没有变化。

1.2 反馈至状态微分的输出反馈

$$\dot{x}=(A+HC)x+Bu,y=Cx$$
$$G_H(s)=C(sI-A-HC{)}^{-1}B$$

1.3 反馈至参考输入的输出反馈

$$u=v+Ky$$
$$\dot{x}=(A+BKC)x+Bv,y=Cx$$
$$G(s)=C(sI-A-BKC{)}^{-1}B$$

2. 状态反馈的极点配置算法

极点可任意配置的条件

1. 利用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件是被控系统完全可控
2. 利用反馈至状态微分的输出反馈任意配置闭环极点的充要条件是被控系统完全可观
3. 利用反馈至参考输入的输出反馈一般不能任意配置闭环极点

2.1 状态反馈渐进跟踪问题——定常参考信号

$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu+Fd\\ y=Cx\end{array}$$
古典控制理论中的伺服设计思想，为了使输出无静差，需要PI控制器的积分作用，相当于控制律需要含有误差的积分信息。令：
$$q(t)={\int }_0^{t}e(\tau )\mathrm{d}\tau ={\int }_0^t[y(\tau )-y_r]\mathrm{d}\tau$$
$$\dot{q}=y(t)-y_r$$
联立得到增广系统
$$\left[\begin{array}{c}\dot{x}\\ \dot{q}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& O\\ C& O\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ q\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}B\\ O\end{array}\right]u-\left[\begin{array}{c}O\\ y_r\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}F\\ O\end{array}\right]d$$
$$y=[CO]\left[\begin{array}{c}x\\ q\end{array}\right]$$
该增广系统的状态反馈控制律
$$u=[K_x{K}_q]\left[\begin{array}{c}x\\ q\end{array}\right]=K_{x}x+K_{q}q$$
可以证明，在该控制律下，原系统可以实现对定常参考信号的跟踪控制。
定理 设 $(A,B)$ 能控，则增广系统完全能控的充要条件是
$$\text{rank}(\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& O\end{array}\right])=n+m$$

3. 状态观测器

状态观测器存在的条件 不能观子系统为渐近稳定。
实现： $(A,B,C)$ 完全能观，则 $x$ 可以由 $y$ 和 $u$ 进行重构。

3.1 全维观测器

思路：完全能观，则可构造观测器
$$\dot{\hat{x}}=(A-HC)\hat{x}+Bu+Hy$$
使得 $(x-\hat{x})\to 0$ 。
$$\begin{array}{rl}\dot{\hat{x}}=& A\hat{x}+Bu+H(y-\hat{y})\\ & \\ \dot{x}=& Ax+Bu\\ & \\ y=& Cx\\ & \\ x_e=& x-\hat{x}\\ & \\ {\dot{x}}_e=& \dot{x}-\dot{\hat{x}}=A{x}_e-H{y}_e=A{x}_e-HC{x}_e=(A-HC)x_e\end{array}$$
则令 $H=[h_1,h_2{]}^{\mathrm{T}}$ ，使得系统矩阵
$$\det (\lambda I-(A-HC))$$
的特征值都有负实部，可以使状态误差最终为 $0$ 。

3.2 降维观测器

步骤：

1. 系统矩阵完全能观
2. 求 $\text{rank}(C)=m$ ， $m$ 个状态分量可以由y直接获得
3. 构造线性变换阵，补无关 $C_0$
   $$P^{-1}=\left[\begin{array}{c}{C}_0\\ C\end{array}\right],P={\left[\begin{array}{c}{C}_0\\ C\end{array}\right]}^{-1},\bar{x}=P^{-1}x$$
   
4. 线性变换并分块
   $$\begin{array}{rl}\bar{A}=& P^{-1}AP=\left[\begin{array}{cc}{\bar{A}}_{11}& {\bar{A}}_{12}\\ {\bar{A}}_{21}& {\bar{A}}_{22}\end{array}\right]\\ & \\ \bar{B}=& P^{-1}B=\left[\begin{array}{c}{\bar{B}}_1\\ {\bar{B}}_2\end{array}\right]\\ & \\ \bar{C}=& CP=[0I]\end{array}$$
   

$$\begin{array}{rl}{\dot{\bar{x}}}_1=& {\bar{A}}_{11}{\bar{x}}_1+{\bar{A}}_{12}{\bar{x}}_2+{\bar{B}}_{1}u\\ & \\ {\dot{\bar{x}}}_2=& {\bar{A}}_{21}{\bar{x}}_1+{\bar{A}}_{22}{\bar{x}}_2+{\bar{B}}_{2}u\\ & \\ \bar{y}=& {\bar{x}}_2\end{array}$$
6. 令能观部分 $Z={\bar{A}}_{21}{\bar{x}}_1$ ，作为输出量； $M={\bar{A}}_{12}{\bar{x}}_2+{\bar{B}}_{1}u$ 作为输入量
7. 新系统方程
$$\begin{array}{rl}{\dot{\bar{x}}}_1=& {\bar{A}}_{11}{\bar{x}}_1+M\\ & \\ Z=& {\dot{\bar{x}}}_2-{\bar{A}}_{22}{\bar{x}}_2-{\bar{B}}_{2}u\end{array}$$
8. 观测器方程
$${\dot{\hat{\bar{x}}}}_1=({\bar{A}}_{11}-\bar{H}{\bar{A}}_{21}){\hat{\bar{x}}}_1+\bar{H}Z+M$$
代入新系统方程到新的观测器方程有：
$$\begin{array}{rl}{\dot{\hat{\bar{x}}}}_1=& ({\bar{A}}_{11}-\bar{H}{\bar{A}}_{21}){\hat{\bar{x}}}_1+\bar{H}{\dot{\bar{x}}}_2-\bar{H}{\bar{A}}_{22}{\bar{x}}_2-\bar{H}{\bar{B}}_{2}u\\ & \\ & +{\bar{A}}_{12}{\bar{x}}_2+{\bar{B}}_{1}u\end{array}$$
代入 $\bar{y}={\bar{x}}_2$
$$\begin{array}{r}{\dot{\hat{\bar{x}}}}_1=({\bar{A}}_{11}-\bar{H}{\bar{A}}_{21}){\hat{\bar{x}}}_1+({\bar{A}}_{12}-\bar{H}{\bar{A}}_{22})\bar{y}+({\bar{B}}_1-\bar{H}{\bar{B}}_2)u+\bar{H}\dot{\bar{y}}\end{array}$$
9. 消去 $\dot{\bar{y}}$ ，设计新的需要观测的状态
$$\hat{\bar{\omega }}={\hat{\bar{x}}}_1-\bar{H}\bar{y}$$
10. 代入新的观测器方程有
$$\begin{array}{rl}\dot{\hat{\bar{\omega }}}=& ({\bar{A}}_{11}-\bar{H}{\bar{A}}_{21})\hat{\bar{\omega }}+[({\bar{A}}_{11}-\bar{H}{\bar{A}}_{21})\bar{H}+({\bar{A}}_{12}-\bar{H}{\bar{A}}_{22})]\bar{y}+({\bar{B}}_1-\bar{H}{\bar{B}}_2)u\\ & \\ {\hat{\bar{x}}}_1=& \hat{\bar{\omega }}+\bar{H}\bar{y}\end{array}$$
11. 真个状态矢量 $\bar{x}$ 的估计值
$$\hat{\bar{x}}=\left[\begin{array}{c}{\hat{\bar{x}}}_1\\ {\hat{\bar{x}}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\hat{\bar{\omega }}+\bar{H}\bar{y}\\ \bar{y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}I\\ 0\end{array}\right]\hat{\bar{\omega }}+\left[\begin{array}{c}\bar{H}\\ I\end{array}\right]\bar{y}$$
12. $\hat{x}=P\hat{\bar{x}}$
13. $x_{1e}={\bar{x}}_1-{\hat{\bar{x}}}_1\to {\dot{x}}_{1e}=({\bar{A}}_{11}-\bar{H}{\bar{A}}_{21})x_{1e}$
14. $|\lambda I-({\bar{A}}_{11}-\bar{H}{\bar{A}}_{21})|=D^{\ast }(\lambda )$

3.3 使用估计出的状态进行状态反馈

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