读书(待续)-刚体力学基础

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刚体力学

刚体(rigid body): 在受力、运动情况下其形状和大小都不发生变化的物体。

质元(mass element): 质量微元。与质点的区别：质元是所分析物体的质量微元，质量趋近于0；质点是质量集中于一点的物体，质量大于0。

自由度(degree of freedom): 确定一个物体位置所需要的独立坐标数目，也就是为了确定物体的位置所必须给定的独立的广义坐标的数目。

平动(translation)： 刚体在运动过程中，任意两质元的连线在后一时刻的取向总与前一时刻的取向平行。

转动(rotation)： 刚体上所有质元都绕同一条直线做圆周运动，该直线称为刚体的转轴。转动进一步可以分为定点转动(fixed-point rotation)和定轴转动(fixed-axis rotation)。

公式编辑的一些小trick:

图1：刚体定轴转动示意图	图2：右手螺旋关系

质元$P$的位置矢量为：${\mathbf{R}}_P=\overrightarrow{O{O}^{\prime }}+{\mathbf{r}}_P$。对时间求导，注意到$\overrightarrow{O{O}^{\prime }}$与时间无关，得质元$P$相对参考系的速度：
$${\mathbf{v}}_P=\frac{\text{d}{\mathbf{R}}_P}{\text{d}t}=\frac{\text{d}{\mathbf{R}}_P}{\text{d}t}\text{\hspace{1em}(1)}$$

用$\phi$（即图中的$\theta$）表示刚体转过的角度，在定轴转动的情况下，质元$P$转动半径$|{\mathbf{r}}_P|$不变，$\mathrm{d}{\mathbf{r}}_{\mathrm{P}}$方向（即质元$P$速度方向）沿圆周轨道的切向，大小为$r_P\mathrm{d}\phi$，$\mathrm{d}\phi$是刚体在$\mathrm{d}\mathrm{t}$时间内的角位移。因此质元$P$的速度大小为：
$$v_P=r_P\frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}\text{\hspace{1em}(2)}$$

与定义质点运动速度相似，定义角位移$\phi =\phi (t)$对时间的变化率为角速度(angular velocity)：
$$\omega =\underset{\Delta r\to 0}{\lim }\frac{\Delta \phi }{\Delta t}=\frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}\text{\hspace{1em}(3)}$$

规定角速度方向沿转轴，其指向与刚体转动方向呈右手螺旋关系。因此质元$P$速度矢量为：
$${\mathbf{v}}_P=\mathbf{\omega }\times {\mathbf{r}}_P=\mathbf{\omega }\times {\mathbf{R}}_P\text{\hspace{1em}(4)}$$

为了描述刚体角速度随时间的变化，再引入角加速度(angular acceleration)，即角速度对时间的变化率：
$$\mathbf{\alpha }=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta \mathbf{\omega }}{\Delta t}=\frac{\text{d}\mathbf{\omega }}{\text{d}t}\text{\hspace{1em}(5)}$$

因此，质元$P$的加速度为：
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{a}}_P& =\frac{\text{d}{\mathbf{v}}_P}{\text{d}t}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}(\mathbf{\omega }\times {\mathbf{r}}_P)=\frac{\text{d}\mathbf{\omega }}{\text{d}t}\times {\mathbf{r}}_P+\mathbf{\omega }\times (\mathbf{\omega }\times \frac{\text{d}{\mathbf{r}}_P}{\text{d}t})\\ & =\mathbf{\alpha }\times {\mathbf{r}}_P+\mathbf{\omega }\times (\mathbf{\omega }\times {\mathbf{r}}_P)\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$

对$\mathbf{\omega }\times (\mathbf{\omega }\times {\mathbf{r}}_P)$进行分解（三矢量矢积公式）：
$$\mathbf{\omega }\times (\mathbf{\omega }\times {\mathbf{r}}_P)=(\mathbf{\omega }\cdot {\mathbf{r}}_P)\mathbf{\omega }-{\omega }^2{\mathbf{r}}_P\text{\hspace{1em}(8)}$$

将$(8)$式代入$(7)$式，可以表示为切向分量(tangential component)和法向分量(normal component)形式：
$$\{\begin{array}{rl}{a}_{Pt}& =\frac{\text{d}\omega }{\text{d}t}{r}_P=r_P\alpha \\ a_{Pn}& =-r_P{\omega }^2=-\frac{v_P^2}{r_P}\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$