简单了解递推思想

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一、递推的定义

递推是一种通过已知的初始条件，利用前一项或多项的结果来逐步推导出后续项的方法。

在数学中，递推关系通常表示为一个数列或序列的通用公式，该公式使用之前的项来计算下一项。例如，斐波那契数列中的递推关系就是 F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中 F(0)=0, F(1)=1 是初始条件。

在计算机科学中，递推常用于动态规划算法中。动态规划通过将问题分解为相互重叠的子问题，并使用递推关系来避免重复计算，从而提高效率。递推也经常用于组合数学、排列组合等领域的问题。

二、递推与递归

递推（recurrence relation）是一种从已知的初始条件开始，通过逐步迭代计算出后续的结果的方法。递推通常是从简单情况开始，逐步推导出复杂情况的公式或规律。递推的特点是计算顺序确定，每个结果只依赖于前面的有限个结果，因此很适合用来解决动态规划、组合数学等问题。

递归（recursion）是一种函数调用自身的方法。递归通常通过将大问题分解为相同的小问题，并将小问题逐步化简为基本情况来解决问题。递归的特点是可以处理任意深度的问题，但需要考虑递归的终止条件和函数调用的开销等问题。递归常用于树形结构、图形结构等问题的解决中。

在某些情况下，递推和递归可以互相转换。例如，斐波那契数列可以使用递推和递归两种方式计算；组合数也可以使用递推和递归两种方式计算。（此处组合数问题就采用递推解决组合数问题-CSDN博客）

三、题目与解法

题目链接：

[NOIP2001 普及组] 数的计算 – 洛谷

普通递归解法：

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int SequenceBuild(int n){ if(n==1) return 1; int c=1; for(int i=1;i<=n/2;i++){ c+=SequenceBuild(i); } return c; } int main(){ int n; cin>>n; cout<<SequenceBuild(n); return 0; } 

时间复杂度分析：

每次调用 `SequenceBuild` 函数时，它会递归调用自身，每次的参数值是 `n/2` 或更小。

在最坏情况下，递归树的深度是，因为每次参数都会减少一半。在每一层，都会有 `c += SequenceBuild(i);` 这样的操作，其中 `i` 的值是从 1 到 `n/2`。所以，在每一层，总的操作次数是 O(n)。

因此，如果递归树的深度是，并且每层的操作次数是 O(n)，那么整个程序的时间复杂度应该是 O(n* )。

递推解法：

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int f[1001]; void SequenceBuild(int n){ f[0]=f[1]=1; if(n==0||n==1) return;//结束递归 for(int i=1;i<=n;i++){ if(i%2==0) f[i]=f[i-1]+f[i/2]; else f[i]=f[i-1]; } } int main(){ int n; cin>>n; SequenceBuild(n); cout<<f[n]; return 0; } 

时间复杂度分析：

• 循环从 2 开始，一直到 n。在每次迭代中，根据 i 的奇偶性，计算 f[i] 的值：
  • 如果 i 是偶数，f[i] 的值为前一个数 f[i-1] 和 f[i/2] 的和。
  • 如果 i 是奇数，f[i] 的值等于 f[i-1]。

这个程序中的循环将遍历 n 次，每次循环都进行一些固定的操作。因此，整体时间复杂度是线性的，即 O(n)，因为程序的运行时间与 n 呈线性关系