【导数术】9.指对互化和指对同构

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9.指对互化与指对同构

（1）核心原理

所谓指对互化，如下示例：

$x=e^{\ln x}=\ln (e^x)$，

$x^2{e}^x=e^{2\ln x}\cdot e^x=e^{2\ln x+x}\ge 2\ln x+x+1$

（2）常见的类型示例

• 乘积

如：$a{e}^a<b\ln b$

构造方法有三种，如下：

• 商

如：$\frac{e^a}{a}<\frac{b}{lnb}$

同理有三种构造方法：

• 和差

如：$e^a\pm a<b\pm \ln b$

（3）练习

$Pra.9.1$

设$a,b\in R_{+}$，$a{e}^{a+1}+b<b\ln b$，求证：$b>e^{a+1}$

• $Solution$：同构为

$$a{e}^a<\frac{b}{e}\ln \frac{b}{e}$$

$Pra.9.2$

对任意实数$x>a$，不等式$2a{e}^{2x}-\ln x+\ln a\ge 0$恒成立，求$a$的最小值

• $Solution$：考虑指数的$2x$，不等式变换为：

$$2x{e}^{2x}-\frac{x\ln x}{a}+\frac{x}{a}\ln a\ge 0$$

$Pra.9.3$：[2020山东12月高三联考]

已知函数$f(x)=\ln x+ax+1$

（1）讨论$f(x)$的单调性；

（2）对$\forall x>0,x{e}^{2x}\ge f(x)$恒成立，求$a$的最大值

• $Solution:$

第一小问略，第二小问指对互化即可，$a_{\max }=2$

$Pra.9.4$：[2020新高考I卷]

已知函数$f(x)=a{e}^{x-1}-\ln x+\ln a$

（1）当$a=e$时，求曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线与两坐标围成的三角形的面积；

（2）若$f(x)\ge 1$，求$a$的取值范围.

• $Solution$：

不妨令$t=x-1+\ln a$，于是$\ln a=t-x+1$

原式等价于：$e^t-\ln x+t-x+1-1\ge 0$

即：$e^t+t\ge x+\ln x$

构造函数$p(x)=e^x+x$

等价于：$p(t)\ge p(\ln x)$

只需要：$t\ge \ln x$恒成立，即：
$$x-1-\ln x\ge -\ln a$$
而：$(x-1-\ln x{)}_{\min }=0$，所以只需要$-\ln a\le 0$

解得$a\ge 1$

[另解：端点效应充分性证明]

端点效应得$a\ge 1$，证明充分性即可，

$Pra.9.5$

设实数$m>0,\forall x\ge e$，恒有$x^2\ln x-m{e}^{\frac{m}{x}}\ge 0$,求$m$最大值.

• $Solution:$$m_{\max }=e$

不妨令$t=\frac{m}{x}$，那么$m=tx$

$Pra.9.6$

已知函数$f(x)=m\cdot \ln (x+1)-3x-3.$

若不等式$f(x)>mx-3e^x$在$x\in (0,+\infty )$恒成立，求实数$m$的取值范围.

• $Solution$：$m\le 3$

等价于：$g(x+1)>g(e^x)$恒成立，而$e^x>x+1>1(x>0)$

且$g(0+1)=g(e^0)$

只需要$g(x)$在$(1,+\infty )$严格单调递减即可，即：
$$g^{\prime }(x)=\frac{m}{x}-3=\frac{m-3x}{x}<0$$
所以$m\le 3$

$Pra.9.7$ [与反函数相关的同构]

设$a^x>{\log }_{a}x$对于$\forall x>0$恒成立，求$a$范围.

• $Solution$：显然$a>1$，同构：

$$e^{x\ln a}>\frac{\ln x}{\ln a}\iff (x\ln a)e^{x\ln a}>x\ln x$$

构造函数$f(x)=x\ln x$，在$x>0$时递增，于是只需要：
$$e^{x\ln a}>x\iff x\ln a>\ln x$$
构造函数$g(x)=\frac{\ln x}{x}$即可，得到：
$$\ln a>(\frac{\ln x}{x}{)}_{\max }=\frac{1}{e}\Rightarrow a>e^{\frac{1}{e}}$$
[反函数法] 考虑到$a^x$和${\log }_{a}x$是反函数，只需要满足：
$$a^x>x$$
即可，取对数得：
$$x\ln a>\ln x$$
其余同上，略。