半群与群简介

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半群与单子

半群的基本概念

定义1.半群(semigrop)

设$(X,\ast )$是代数系统，$\ast$是X上的二元运算。若$\ast$运算满足
结合律，则称$(X,\ast )$为半群。

• 半群就是具有结合律的代数系统；
• 验证半群的要点是验证运算的
  (1)封闭性；(2)结合律
  

定义2.单子(monoid)

设$(X,\ast )$是半群

1. 若$\ast$运算满足交换律，则称$(X，\ast )$是交换半群。
2. 若X关于$\ast$运算有幺元，则称$(X，\ast )$是含幺半群或者单子。
3. 若$\ast$运算满足交换律同时X关于$\ast$运算又有幺元，则称$(X，\ast )$是交换
   含幺半群或交换单子
   

定义3.元素的乘幂

设$(X,\ast )$是代数系统，$\ast$是X上的二元运算。X 中元素的乘幂定义如下：
$$\begin{gathered} \forall x\in X \\ {x}^1=x \\ {x}^{m+1}=x^m\ast x(m\in N) \end{gathered}$$

定理1. 指数律

设$(X,\ast )$是半群。任取$x\in X,\forall m,n\in N$有
$$\begin{gathered} x^m\ast x^n=x^{m+n}=x^n\ast x^m \\ (x^m{)}^n=x^{mn}=(x^n{)}^m \end{gathered}$$

定义4.循环半群(cyclic semigroup)

设$(X,\ast )$是半群。若存在着元素$x_0\in X$,使得
$(\forall x\in X)(\exists n\in N)(x=x_0^n)$
则称$(X,\ast )$为循环半群；同时称$x_0$是该循环半群的生成元(generating element)。

定理2. 循环半群一定是交换半群。

定义5.子半群(sub-semigroup)

设$(X,\ast )$是半群,$S\subseteq X$且$S\ne \varnothing$。若$(S，\ast )$是$(X，\ast )$的子代数系统,并且$(S，\ast )$也构成半群，则称$(S，\ast )$是$(X，\ast )$的子半群。

• 子半群的概念是子代数系统概念在半群这种代数系统中的具体体现。
• 由本章§1的定理3知，若代数系统中的二元运算满足结合律，则子代数系统中的二元运算也满足结合律，因此半群的子代数系统就是这个半群的子半群。
• 因此，验证子半群与验证子代数系统一样，必须验证条件：
  1.$S\subseteq X$
  2.$S\ne \varnothing$
  3. 封闭性
  
  
  

群

群的基本概念

定义1.群(group)

设$〈G,\ast 〉$是含幺半群。若G中每个元素都有逆元，即
$\forall g(g\in G⟹g^{-1}\in G)$,则称$〈G,\ast 〉$为群

• 群就是每个元素都有逆元的含幺半群；
• 验证一个代数系统是群，必须验证以下四点：
  (1)封闭性; (2)结合律; (3)有幺元; (4)有逆元。
  

定义2.交换群(Abel群 加群)。

设$〈G,\ast 〉$是群。若$\ast$运算满足交换律，则称$〈G,\ast 〉$是交换群。

定义3.群的阶(rank)

设$〈G,\ast 〉$是群。称G的势(基数)为群$〈G,\ast 〉$的阶

• 群的阶反映群的大小；
• 由定义3知有限群的阶就是G中元素的个数 ；无限群的阶是G的势；群
  的阶统一记为|G|
  

定理1 逆元唯一无零元

设$〈G,\ast 〉$是群,$|G|⩾2$。则

1. G中每个元素的逆元是唯一的;
2. G中无零元。

定理2 反身律鞋袜律

设$〈G,\ast 〉$是群,则$\forall a,b\in G$,有

1. 反身律：$(a^{-1}{)}^{-1}=a$
2. 鞋袜律：$(a\ast b{)}^{-1}=b^{-1}\ast a^{-1}$

定理3 消去律

设$〈G,\ast 〉$是群,则满足消去律
$\forall x,y,z\in G$
$x\ast y=x\ast z⟹y=z$

定理4

在有限群$〈G,\ast 〉(|G|=n)$的$\ast$运算的运算表中，每一
行(每一列)都与G中元素的自然顺序构成一个置换(双射)。即
每个元素在每行(列)必出现一次且只出现一次。

因此n阶有限群的运算表是由G中元素的 (n个行或n个列所形成的)n个置换所构成的。这个性质来源于群中每个元素都有逆元

定义4.元素的乘幂

设$〈G,\ast 〉$是群。G中元素乘幂的定义在半群定义的基础
上，增补如下：
$$\begin{gathered} \forall x\in G \\ {x}^0=e; \\ {x}^{-n}=(x^{-1}{)}^n(\forall n\in N) \end{gathered}$$

定义5.元素的阶(rank)

设$〈G,\ast 〉$是群。$\forall g\in G$称
k = m i n { m : m ∈ N ∣ { 0 } ∧ g m = e } k=min\{m:m\in N | \{0\} \land g^m=e \} k=min{
m:m∈N∣{
0}∧gm=e}为元素g的阶，若这样的k不存在，则称g的阶为无穷

-元素g的阶k是使$g^m＝e$成立的最小正整数；
-由于元素的自乘幂是一次一次乘的，因此这个无穷只能是可数无穷；

• 由定义5可知，么元是群中唯一的一个一阶元素；
• 群的阶和群中元素的阶这样两个阶的概念，这是两个根本不同的概念。

定理5

设$〈G,\ast 〉$是群。$\forall g\in G$

1. 若g的阶为n，则$g^1,g^2\dots g^n(=e)$互不相同；
2. 若g的阶为无穷，则$g^0(=e),g^1,g^2\dots g^n\dots$互不相同。

定理6

设$〈G,\ast 〉$是群。$\forall g\in G,g与g^{-1}$有相同的阶。

定理7

设$〈G,\ast 〉$是群。$\forall g\in G$

1. 若g的阶有限，设其为k，从而$g^k=e$。则
   1.$\forall m\in N,g^m=e⟺k|m$(k整除m，即$m=n\ast k$)
   2.$\forall m,n\in N,g^m=g^n⟺k|m-n$
   
   
2. 若g的阶无限，则$\forall m,n\in N,g^m=g^n⟹m=n$

定理8

有限群中每个元素的阶都是有限的。设$〈G,\ast 〉$是有限
群，$|G|＝n$，则G中每个元素的阶$⩽n$。

循环群

定义6.循环群(cyclic group)

设$〈G,\ast 〉$是群。$\exists g_0\in G$,使得
$(\forall g\in G)(\exists n\in I)(g=g_0^n)$
则称$〈G,\ast 〉$为循环群；同时称$g_0$是该循环群的生成元(generating element)。并且将$〈G,\ast 〉$记作$(g_0)$。

定理9

设$〈G,\ast 〉$为循环群，|G|＝n 。那么
1.$g_0$是生成元$⟺g_0^{-1}$是生成元 ；
2.$g_0$是生成元$⟺g_0$的阶是n 。

定理10

设$〈G,\ast 〉$为循环群,$g_0$是生成元

1. 若$g_0$的阶为m，则$〈G,\ast 〉$与〈Nm, +m〉 同构；
2. 若$g_0$的阶为无穷，则$〈G,\ast 〉$与 〈I,+〉同构;

定理11. 循环群一定是交换群。

置换群（ * ）

定义7.置换群(permutation group)

设所有n次置换构成的集合为$S_n，A\subseteq S_n,A\ne \varnothing ,◇$是置换的合成运算，若$〈A,◇〉$构成群，则称$〈A,◇〉$为一(n次)置换群。

定理12

n个元素的非空集合X上的所有n次置换构成的集合$S_n$，在置换的合成运算◇下构成一置换〈Sn,◇〉。 称为n次对称群(group of symmetry),简记为$S_n$。

定理13.(Cayley定理)

任何n阶有限群$〈G,\ast 〉$都与一n次置换群同构。

子群

定义8.子群(subgroup)

若群$〈G,\ast 〉$的子代数系统$〈S,\ast 〉$也是群，则称$〈S,\ast 〉$
是$〈G,\ast 〉$的子群。

• 验证子群，除了验证子代数系统的
  $(1)S\subseteq G；(2)S\ne \varnothing (3)\ast$运算关于S封闭；
  还应该验证
  (4)有幺元(并与群G 中的幺元重合)；
  (5)有逆元(并与群G 中的同一元的逆元重合) ；
  而结合律则不须验证，因为根据本章§1定理3可知，遗传。
  
  
  
  
  
• 群$〈S,\ast 〉$是群$〈G,\ast 〉$的子群， 简记为S< G ；

定理14

设$〈G,\ast 〉$是群，$S\subseteq G,S\ne \varnothing$,那么
$〈S,\ast 〉是〈G,\ast 〉$的子群$⟺$

1. 封闭性：$\forall a\forall b(a\in S\wedge b\in S⟹a\ast b\in S)$
2. 有逆元：$\forall a(a\in S⟹a^{-1}\in S)$

定理15

设$〈G,\ast 〉$是群，$S\subseteq G,S\ne \varnothing$,那么
$〈S,\ast 〉$是$〈G,\ast 〉$的子群$⟺$
混合封闭性：$\forall a\forall b(a\in S\wedge b\in S⟹a\ast b^{-1}\in S)$

定理16

设$〈G,\ast 〉$是有限群， |G|＝n ，$S\subseteq G,S\ne \varnothing$,那么
$〈S,\ast 〉$是$〈G,\ast 〉$的子群$⟺$
封闭性：$\forall a\forall b(a\in S\wedge b\in S⟹a\ast b\in S)$

例20.平凡子群

设$〈G,\ast 〉$是群，则$〈e,\ast 〉$和$〈G,\ast 〉$是$〈G,\ast 〉$的两个子群。由于每个群都有这样的子群，且这两个子群对问题的研究价值不大。故称这两个子群是$〈G,\ast 〉$的平凡子群。

例21

循环群的子群是循环群。即若$〈G,\ast 〉$是循环群且$〈S,\ast 〉$是$〈G,\ast 〉$的子群，则$〈S,\ast 〉$是循环群。

陪集与拉格郎日(Lagrange)定理

定义9.陪集(coset)

设$〈G,\ast 〉$是群，$〈H,\ast 〉$是$〈G,\ast 〉$的子群。对于任何元素$a\in G$，

1. 由a所确定的H在G中的左陪集(left coset)定义为
   a H = { a ∗ h : h ∈ H } aH=\{a \ast h:h\in H\} aH={
   a∗h:h∈H}
   
2. 由a所确定的H在G中的右陪集(right coset)定义为
   H a = { h ∗ a : h ∈ H } Ha=\{h \ast a:h\in H\} Ha={
   h∗a:h∈H}
   

称元素a是左陪集aH及右陪集Ha的代表元素，简称代表元

定理17

设$〈G,\ast 〉$是群，$〈H,\ast 〉$是$〈G,\ast 〉$的子群。
1. S l = { a H : ∣ a ∈ G } S_l =\{aH:|a\in G\} Sl​={
aH:∣a∈G}
2. S r = { H a : ∣ a ∈ G } S_r =\{Ha:|a\in G\} Sr​={
Ha:∣a∈G}

此表示去掉重复元素

则$S_l，S_r$均是G的划分

定理18

设$〈G,\ast 〉$是群，$〈H,\ast 〉$是$〈G,\ast 〉$的子群。则有：
1.$(\forall a\in G)(|aH|＝|H|)$
2.$(\forall a\in G)(|Ha|＝|H|)$

定理19

群$〈G,\ast 〉$的子群$〈H,\ast 〉$的不同左陪集的个数等于它的不同右陪集的个数。即
$|S_l|＝|S_r|$

定义10.指数(exponent)

子群$〈H,\ast 〉$关于群$〈G,\ast 〉$的不同左陪集(或右陪集)的个数(或势)称为群$〈G,\ast 〉$关于子群$〈H,\ast 〉$的指数。记为$|G/H|$。

根据定义有$|G/H|=|S_l|＝|S_r|$；

定理20.拉格朗日(Lagrange)定理

设$〈H,\ast 〉$是有限群$〈G,\ast 〉$的子群。则有
$|G|=|G/H|\cdot |H|(或|G/H|=|G|/|H|)$。

• 推论1.素数阶群的子群只有两个，即两个平凡子群。
• 推论2.在有限群中，每个元素的阶都是群的阶的因子。
• 推论3.每个素数阶群都是循环群。
• 推论4.四阶不同构的群只有两个，一个是4阶循环群，一个是Klein 4－群。