50个概率题

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1. 袜子抽屉

2. 连胜

3. 轻浮的陪审员

4. 抛到6为止

平均需要掷几次色子才会掷出6？

• 解法1：
  
  
• 解法2：设平均需要掷m次色子才会掷出6，这是一个期望值。若第一次掷出的不是6（概率为q=1-p=5/6），则还需要掷m次，共掷m+1次；若第一次掷出6(概率为p=1/6)，则不需要再掷了，共掷1次。又总的期望应该是m，则有qx(m+1)+px1=m，解得m=1/p=6
• 解法3：
  这是一个伯努利过程，首次成功的总实验次数俯冲参数为p的几何分布，次数的期望为1/p=6
  

5. 方形中的硬币

6. Chuck-a-Luck

1. 当我们(庄家)开出三个不同的数字时，玩家获利3个单位，同时损失3个单位，我们没有盈利；这种情况第一个色子有6个数字可选，第二个有5个，第三个四个，有6x5x4=120种排列，每个色子有6种取法，三个色子共有6x6x6=216种排列，发生的概率是$120\over 216$；
2. 当我们开出2个一样的数字时，玩家获利3个单位，同时损失4个单位，我们盈利1个单位，平均每单位筹码盈利$1\over 6$个单位筹码；该情况下从3个色子中取2个作为一样的数字，有3种取法，这两个色子的有6个数字可选，第三个色子只有5个数字可选，有$(_2^3)$x6x5=90种排列，发生的概率是$90 \over 216$；
3. 当我们开出3个一样的数字时，玩家获利3个单位，同时损失5个单位，我们盈利2个单位，平均每单位筹码盈利${2 \over 6}={1 \over 3}$单位的筹码；这种情况在6个数字中选一个作为重复3次的数字，有6种取法，三个色子都只能从这个数字中选择，共6种排列，发生的概率是$6 \over 216$。

$$0 \times \frac{120}{216} + \frac{1}{6} \times \frac{90}{216} + \frac{1}{3} \times \frac{6}{216} = \frac{17}{216} \approx 0.0787$$ （比0.0398的50年中国国债收益高多了，还是不如房地产，果然是地产兴邦）。

因此玩家们的每单位筹码的损失是0.0787。 转轮相当于更多面的色子，指针或珠子停住的位置上的数字相当于色子开出的点数，比扔色子盈利更高，玩家损失更多, 所以说玩家还是要远离赌博。

7. 治疗强迫症赌徒

轮盘上有38个等可能的数字，如果玩家猜的数字中了，他将获得35倍的筹码以及他下注的筹码；否则输掉他下注的筹码。小明他爹不听小明的劝阻，总是在轮盘的13号位赌1块钱。为了帮助治疗他爹的强迫症，小明总是赌20块钱他爹将再36轮后亏本，（他爹亏本了就给小明20块钱，没亏本就挣小明20块钱），小明能让他爹吃到教训吗？

• 这个问题首先要搞清楚小明他爹在36轮后亏本的概率分布，什么情况下亏本，什么情况下不亏本。试着算一下，36轮中只要赢一次，$+35 \times 1 + (-1) \times 35=0$，他爹正好不亏，36轮全输了才亏本，因此他爹36轮后亏本的概率分布为

因此小明他爹从小明那盈利的期望：$20 \times 0.617 +(– 20) \times 0.383 = 4.68$

• 小明他爹每轮从赌场那盈利的期望：$35\times{1 \over 38} +(-1)\times{37 \over 38} = -{2 \over 38}$
  36轮后从赌场盈利的期望：$-{2 \over 38} \times 36 \approx -1.89$
  
• 最后，小明他爹36轮后盈利的总期望：$4.68 – 1.89 = 2.99$

哈哈，看来小明可能先吃到教训。不过要是小明运气好的话，可能小明他爹在第一次亏掉36+20=56块钱之后就不玩了。

8. 一手完美桥牌

$$\frac{4(^{13}_{13})}{(^{52}_{13})}=6.299 \times 10^{-12}$$

9. Craps

Craps，也就是掷骰子，是美国玩起来最快也最流行的赌博游戏。每次掷2个骰子并合计点数，先掷出7或11的获胜，一旦掷出2,3或12则输了。掷出了其他的点数称为point，如果你先掷出的是point，那么你需要一直掷骰子直到你再掷出一次同样的point就算赢，掷出7则算输。每个玩家赢的概率有多大？

• 2个骰子的和的分布律：

• 第一次掷骰子情况

那么玩家没单位筹码的盈利期望为：1x(1-0.49293) +(– 1)x0.49293 = -0.01414, 每单位筹码的损失率是1.41%

10. 个人对于赌注的承受实验

11. 沉默的合作

12. Quo Vadis? (拉丁语，你去往何处？)

13. 囚犯的抉择

$$\begin{eqnarray}P(m=AB│n=B) &=& \frac{P(m=AB,n=B)}{P(n=B)}\\ &=& \frac{P(m=AB) \times P(n=B│m=AB)}{P(m=AB)\times P(n=B│m=AB)+P(m=BC) \times P(n=B│m=BC)}\\ &=& \frac{{1 \over 3} \times 1}{{1 \over 3} \times 1+{1 \over 3} \times {1 \over 2}}\\ &=& {2 \over 3}\\ \end{eqnarray}$$

14. 收集优惠券

麦片盒中的优惠券有1至5号，每盒麦片里都有一张优惠券，获得每种优惠券的机会均等，集齐这5种优惠券可以得到一个奖励，平均买多少盒麦片可以集齐一套优惠券？

这跟做多少次实验首次成功差不多，可以把这个问题看作五段伯努利过程，每一段的参数不一样：

1. 第一段伯努利过程中，获得所需优惠券的概率为1，因此只需买1盒；
2. 第二段伯努利过程，因为已经得到一种优惠券了，我想要的优惠券变为剩下的四种，所以获得所需优惠券的概率为4/5，伯努利过程中首次成功的实验次数服从参数为p几何分布, 其分布列为
   
   P(k)=p(1−p)k−1,k=1,2,…

   $$P(k) = p(1-p)^{k-1}, k=1,2,…$$ 几何分布的期望为1/p,因此获得第二种所需优惠券需要买1/p=1/(4/5)=5/4=1.25盒;
   

3. 第三段伯努利过程中获得所需优惠券的概率为3/5，需要买5/3=1.67盒;
4. 第四段伯努利过程中获得所需优惠券的概率为2/5，需要买5/2=2.5盒;
5. 第五段伯努利过程中获得所需优惠券的概率为1/5，需要买5/1=5盒;

15.音乐会的一排座位

16.第二好能成为亚军吗？

17. 双胞胎骑士

$${1 \over7 } \cdot 1+{2 \over 7} \cdot {1 \over 4}+{4 \over 7} \cdot {1 \over 16}={1 \over 4}$$
（b）将(a)中的8改为 $2^n$?

$$\frac{2^{n-1}}{2^n-1}\cdot \frac{1}{2^{2(n-1)}}$$
两人在第 $i$轮相遇的概率为

$$\frac{2^{i-1}}{2^n-1}\cdot \frac{1}{2^{2(i-1)}}$$
相遇的总概率为第 $1,2,3,…,n$轮相遇的概率之和

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n\frac{2^{i-1}}{2^n-1}\cdot \frac{1}{2^{2(i-1)}} =\frac{1}{2^n-1}\sum_{i=1}^n\frac{1}{2^{i-1}} =\frac{2}{2^n-1}\sum_{i=1}^n\frac{1}{2^i} =\frac{2}{2^n-1}(1-\frac{1}{2^n})=\frac{1}{2^{n-1}} \end{aligned}$$

18.抛均匀的硬币

$$p=\binom{100}{50}({1\over2})^{100}=\frac{100!}{50!50!}({1\over2})^{100}$$
难点是没有计算器怎么办？
根据斯特林公式（Stirling’s approximation）

$$n! \approx \sqrt{2\pi}n^{n+{1\over2}}e^{-n}$$
有时也能简便一点

19.艾萨克·牛顿帮助塞缪尔·佩皮斯

20. 三角决斗

21.放回抽样还是不放回抽样

两个装有红球和黑球的桶。A桶有2个红球和1个黑球，B桶有101个红球和100个黑球。桶被随机选择。在第一个球被取出并报告颜色后你可以决定它是否放回原来的桶中（当然你看不到是哪个桶），再从这个桶中取出第二个球（2个球来自同一个桶），你根据这2个球的颜色判断它们来自哪个桶，判断对了可获得奖励。