图像处理：推导三种边缘检测算法（Sobel，FFT，FHT）

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目录

概述

Sobel算子

FFT算子

Numpy中的傅里叶变换

OpenCV中的傅里叶变换

FHT算子

 最后的评估

概述

        之前写的推导Canny边缘检测算法得到了大家的认可，我也是第一次拿到了双榜第一的成绩，给了我很大的鼓励。传统的检测算法在工业当中用处也颇多，由于学习的需要，我才在之前推导了Canny边缘检测的算法，它也是我最常用的一种，它的效果确实是较其他几种要好一点。所以这篇的目的是为了，学习其他的几种边缘检测的方法，并与Canny算法进行比较，来评估一下这几种算法实现效果的差异，并得到一个在什么样的条件下，使用哪种算法最好。

Sobel算子

        它是一离散性差分算子，用来运算图像亮度函数的灰度之近似值。在图像的任何一点使用此算子，将会产生对应的灰度矢量或是其法矢量

Sobel卷积因子为：

该算子包含两组3*3的矩阵，分别为横向及纵向，将之与图像作平面卷积，即可分别得出横向及纵向的亮度差分近似值。如果以A代表原始图像，Gx与Gy分别代表横向及纵向边缘的图像灰度值，其公式如下：

 具体的计算，请看下面：

Gx = (-1)*f(x-1, y-1) + 0*f(x,y-1) + 1*f(x+1,y-1)+(-2)*f(x-1,y) + 0*f(x,y)+2*f(x+1,y)+(-1)*f(x-1,y+1) + 0*f(x,y+1) + 1*f(x+1,y+1)

= [f(x+1,y-1)+2*f(x+1,y)+f(x+1,y+1)]-[f(x-1,y-1)+2*f(x-1,y)+f(x-1,y+1)]

 

Gy =1* f(x-1, y-1) + 2*f(x,y-1)+ 1*f(x+1,y-1)+0*f(x-1,y) 0*f(x,y) + 0*f(x+1,y)+(-1)*f(x-1,y+1) + (-2)*f(x,y+1) + (-1)*f(x+1, y+1)

= [f(x-1,y-1) + 2f(x,y-1) + f(x+1,y-1)]-[f(x-1, y+1) + 2*f(x,y+1)+f(x+1,y+1)]

其中f(a,b)，表示图像（a，b）点的灰度值；

图像的每一个像素的横向及纵向灰度通过以下公式结合，来计算该点灰度的大小：

通常，为了提高效率，用不开方的近似值：

如果，梯度G大于某一阈值，则认为该点（x，y）为边缘点。

最后，用下面的式子来计算梯度方向：

Sobel算子根据像素点上下、左右邻近点灰度加权差，在边缘处达到极限这一现象来检测边缘。对噪声具有平滑的作用，提供较为精准的边缘方向信息，边缘定位精度不够高。当对精度要求不是很高时，是一种较为常用的边缘检测方法。

FFT算子

快速傅里叶变换FFT是离散性傅里叶变换DFT的一种快速检测方法，一般工程应用时，用的就是这种。

• Numpy中的傅里叶变换

首先，我们将看看如何使用Numpy查找傅立叶变换。Numpy具有FFT软件包来执行此操作。

np.fft.fft2()为我们提供了频率的转换，它将是一个复杂的数组。它的第一个参数是输入图像，即灰度图像。第二个参数是可选的，它决定输出数组的大小。如果它大于输入图像的大小，则在计算FFT之前用零填充输入图像。如果小于输入图像，将裁切输入图像。如果未传递任何参数，则输出数组的大小将与输入的大小相同。

现在，一旦获得结果，零频率分量（DC分量）将位于左上角。如果要使其居中，则需要在两个方向上将结果都移动N/2。只需通过函数np.fft.fftshift()即可完成。（它更容易分析）。找到频率变换后，就可以找到幅度谱。

import cv2 as cv import numpy as np from matplotlib import pyplot as plt img = cv.imread('Images/rgblena.jpg',0) f = np.fft.fft2(img) fshift = np.fft.fftshift(f) magnitude_spectrum = 20*np.log(np.abs(fshift)) plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray') plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([]) plt.subplot(122),plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = 'gray') plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([]) plt.show()

看，你可以在中心看到更多白色区域，这表明低频内容更多。

因此，发现了频率变换到现在，你可以在频域中进行一些操作，例如高通滤波和重建图像，即找到逆DFT。为此，您只需用尺寸为60×60的矩形窗口遮罩即可消除低频。然后，使用np.fft.ifftshift()应用反向移位，以使DC分量再次出现在左上角。然后使用np.ifft2()函数找到逆FFT。同样，结果将是一个复数。你可以采用其绝对值。

import cv2 as cv import numpy as np from matplotlib import pyplot as plt img = cv.imread('Images/rgblena.jpg',0) f = np.fft.fft2(img) fshift = np.fft.fftshift(f) rows, cols = img.shape crow,ccol = rows//2 , cols//2 fshift[crow-30:crow+31, ccol-30:ccol+31] = 0 f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift) img_back = np.fft.ifft2(f_ishift) img_back = np.real(img_back) plt.subplot(131),plt.imshow(img, cmap = 'gray') plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([]) plt.subplot(132),plt.imshow(img_back, cmap = 'gray') plt.title('Image after HPF'), plt.xticks([]), plt.yticks([]) plt.subplot(133),plt.imshow(img_back) plt.title('Result in JET'), plt.xticks([]), plt.yticks([]) plt.show() 

• OpenCV中的傅里叶变换

OpenCV为此提供了cv.dft()和cv.idft()函数。它返回与前一个相同的结果，但是有两个通道。第一个通道是结果的实部，第二个通道是结果的虚部。输入图像首先应转换为np.float32。我们来看看怎么做。

import numpy as np import cv2 as cv from matplotlib import pyplot as plt img = cv.imread('Images/rgblena.jpg',0) dft = cv.dft(np.float32(img),flags = cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT) dft_shift = np.fft.fftshift(dft) magnitude_spectrum = 20*np.log(cv.magnitude(dft_shift[:,:,0],dft_shift[:,:,1])) plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray') plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([]) plt.subplot(122),plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = 'gray') plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([]) plt.show()

还可以使用cv.cartToPolar()，它在单个镜头中同时返回幅值和相位

现在我们要做DFT的逆变换。在上一节中，我们创建了一个HPF，这次我们将看到如何删除图像中的高频内容，即我们将LPF应用到图像中。它实际上模糊了图像。为此，我们首先创建一个高值(1)在低频部分，即我们过滤低频内容，0在高频区。

import numpy as np import cv2 from matplotlib import pyplot as plt img = cv2.imread('Images/rgblena.jpg',0) dft = cv2.dft(np.float32(img),flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) dft_shift = np.fft.fftshift(dft) rows, cols = img.shape crow,ccol = rows/2 , cols/2 # create a mask first, center square is 1, remaining all zeros mask = np.zeros((rows,cols,2),np.uint8) mask[int(crow-30):int(crow+30), int(ccol-30):int(ccol+30)] = 1 # apply mask and inverse DFT fshift = dft_shift*mask f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift) img_back = cv2.idft(f_ishift) img_back = cv2.magnitude(img_back[:,:,0],img_back[:,:,1]) plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray') plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([]) plt.subplot(122),plt.imshow(img_back, cmap = 'gray') plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([]) plt.show() 

通常，OpenCV函数cv.dft()和cv.idft()比Numpy函数更快。但是Numpy函数更容易使用。那么关于性能方面我们就不做过多的分析。

FHT算子

 在这里，我只找到了源代码：

来自这个博主：(1条消息) 哈尔(Haar)小波变换的原理及opencv源代码_kuweicai的博客-CSDN博客_haar函数

// verified on opencv4.2.0 # include<opencv.hpp> # include<iostream> using namespace std; using namespace cv; int main() { Mat img = imread("Lena.jpg", cv::IMREAD_GRAYSCALE); int width = img.cols; int height = img.rows; int depth = 2; int depthcount = 1; Mat tmp = Mat::ones(img.size(), CV_32FC1); Mat wavelet = Mat::ones(img.size(), CV_32FC1); Mat imgtmp = img.clone(); imshow("src", imgtmp); imgtmp.convertTo(imgtmp, CV_32FC1, 1.0 / 255); while (depthcount <= depth) { height = img.rows / depthcount; width = img.cols / depthcount; //calculate horizen for (int i = 0; i < height; i++) //row { for (int j = 0; j < width / 2; j++) // col { tmp.at<float>(i, j) = (imgtmp.at<float>(i, 2 * j) + imgtmp.at<float>(i, 2 * j + 1)) / 2; //mean tmp.at<float>(i, j + width / 2) = (imgtmp.at<float>(i, 2 * j) - imgtmp.at<float>(i, 2 * j + 1)) / 2; //diff } } // calculate vertical for (int i = 0; i < height / 2; i++) { for (int j = 0; j < width; j++) { wavelet.at<float>(i, j) = (tmp.at<float>(2 * i, j) + tmp.at<float>(2 * i + 1, j)) / 2; wavelet.at<float>(i + height / 2, j) = (tmp.at<float>(2 * i, j) - tmp.at<float>(2 * i + 1, j)) / 2; } } imgtmp = wavelet; depthcount++; } normalize(wavelet, wavelet, 0, 1, cv::NORM_MINMAX); imshow("wavelet", wavelet); waitKey(0); return 0; }

 最后的评估

Canny方法不易受噪声干扰，能够检测到真正的弱边缘。优点在于，使用两种不同的阈值分别检验强边缘与弱边缘，并且当弱边缘和强边缘相连时，才能将弱边缘包含在输出图像中，这个就是我上上篇中推导Canny边缘检测算法，这就是利用滞后的边界跟踪。

Sobel算子检测方法对于灰度渐变和噪声较多的图像处理效果较好，Sobel算子对边缘定位不是很准确，图像的边缘不止一个像素，如果对于精度要求不高，可以选择这个。

对于FFT与FHT，由于本人学识有限，在此不做评价。