初等变换和广义初等变换——要点部分

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一、初等变换

1. 互换变换

• 第$i$行和第$j$行互换：$E_{ij}$
• 第$i$列和第$j$列互换：$E_{ij}$

【例】第$1$行和第$2$行互换，或第$1$列和第$2$列互换：$E_{12}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

【推导】不凭记忆，如何求出互换变换矩阵？

（1）行互换：设矩阵$A=\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ {\alpha }_3\end{array}\right]$，其中${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$为行向量，则第$1$行和第$2$行互换后得到$B=\left[\begin{array}{c}{\alpha }_2\\ {\alpha }_1\\ {\alpha }_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ {\alpha }_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]A$。

（2）列互换：设矩阵$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，其中${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$为列向量，则第$1$列和第$2$列互换后得到$B=({\alpha }_2,{\alpha }_1,{\alpha }_3)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$。

2. 倍加变换

• 第$i$行的$k$倍加到第$j$行：$E_{ij}(k)$
• 第$i$列的$k$倍加到第$j$列：$E_{ij}(k)$

【例】第$1$行的$3$倍加到第$2$行，或第$2$列的$3$倍加到第$1$列：$E_{12}(3)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

【推导】不凭记忆，如何求出倍加变换矩阵？

（1）行倍加：设矩阵$A=\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ {\alpha }_3\end{array}\right]$，其中${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$为行向量，则第$1$行的$3$倍加到第$2$行后得到$B=\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2+3{\alpha }_1\\ {\alpha }_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ {\alpha }_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]A$。

（2）列倍加：设矩阵$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，其中${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$为列向量，则第$2$列的$3$倍加到第$1$列后得到$B=({\alpha }_1+3{\alpha }_2,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$。

3. 倍乘变换

• 第$i$行乘$k$：$E_i(k)$
• 第$i$列乘$k$：$E_i(k)$

【例】第$3$行乘$-2$，或第$3$列乘$-2$：$E_3(-2)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right]$

【推导】不凭记忆，如何求出倍乘变换矩阵？

（1）行倍乘：设矩阵$A=\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ {\alpha }_3\end{array}\right]$，其中${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$为行向量，则第$3$行乘$-2$后得到$B=\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ -2{\alpha }_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ {\alpha }_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right]A$。

（2）列倍乘：设矩阵$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，其中${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$为列向量，则第$3$列乘$-2$后得到$B=({\alpha }_1,{\alpha }_2,-2{\alpha }_3)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right]$。

4. 性质

（1）可逆：三种变换均不会改变矩阵的秩（矩阵的初等变换不会改变秩）

• 互换：$E_{ij}^{-1}=E_{ij}$
• 倍加：$E_{ij}^{-1}(k)=E_{ij}(-k)$
• 倍乘：$E_i^{-1}(k)=E_i(\frac{1}{k})$

（2）幂次方

• 互换：$E_{ij}^n=\{\begin{array}{ll}{E}_{ij},& n为偶数\\ E,& n为奇数\end{array}$
• 倍加：$E_{ij}^n(k)=E_{ij}(nk)$
• 倍乘：$E_i^n(k)=E_i(k^n)$

（3）行列式

• 互换：$|E_{ij}|=-1$
• 倍加：$|E_{ij}(k)|=1$
• 倍乘：$|E_i(k)|=k(k\ne 0)$

（4）转置

• 互换：$E_{ij}^{\mathrm{T}}=E_{ij}$
• 倍加：$E_{ij}^{\mathrm{T}}(k)=E_{ji}(k)$
• 倍乘：$E_i^{\mathrm{T}}(k)=E_i(k)$

二、广义初等变换

广义初等变换是初等变换的推广。广义初等变换是对分块矩阵的变换，该方法将每一块视为一个整体，类比初等变换那样进行变换。

1. 广义换法变换

与初等互换变换类似，广义换法变换的变换矩阵形式为$\left[\begin{array}{cc}O& E\\ E& O\end{array}\right]$，其行列式的值均不为$0$，说明变换矩阵均可逆，此变换不会改变矩阵的秩。

（1）第$2$行与第$1$行互换：
$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\stackrel{r_1\leftrightarrow r_2}{\to }\left[\begin{array}{cc}C& D\\ A& B\end{array}\right]\\ 等价于& \left[\begin{array}{cc}O& E\\ E& O\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}C& D\\ A& B\end{array}\right]（行变换需左乘）\end{array}$$

（2）第$2$列与第$1$列互换：
$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\stackrel{c_1\leftrightarrow c_2}{\to }\left[\begin{array}{cc}B& A\\ D& C\end{array}\right]\\ 等价于& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}O& E\\ E& O\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}B& A\\ D& C\end{array}\right]（列变换需右乘）\end{array}$$

2. 广义消法变换

与初等倍加变换类似，广义消法变换的变换矩阵形式有两种：$\left[\begin{array}{cc}E& M\\ O& E\end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{cc}E& O\\ M& E\end{array}\right]$，其行列式的值均不为$0$，说明变换矩阵均可逆，此变换不会改变矩阵的秩。

（1）第$2$行左乘矩阵$M$后加到第$1$行：
$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\stackrel{r_1+M{r}_2}{\to }\left[\begin{array}{cc}A+MC& B+MD\\ C& D\end{array}\right]\\ 等价于& \left[\begin{array}{cc}E& M\\ O& E\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A+MC& B+MD\\ C& D\end{array}\right]（行变换需左乘）\end{array}$$

（2）第$1$行左乘矩阵$M$后加到第$2$行：
$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\stackrel{r_2+M{r}_1}{\to }\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C+MA& D+MB\end{array}\right]\\ 等价于& \left[\begin{array}{cc}E& O\\ M& E\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C+MA& D+MB\end{array}\right]（行变换需左乘）\end{array}$$

（3）第$2$列右乘矩阵$M$后加到第$1$列：
$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\stackrel{c_1+c_{2}M}{\to }\left[\begin{array}{cc}A+BM& B\\ C+DM& D\end{array}\right]\\ 等价于& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}E& O\\ M& E\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A+BM& B\\ C+DM& D\end{array}\right]（列变换需右乘）\end{array}$$

（4）第$1$列右乘矩阵$M$后加到第$2$列：
$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\stackrel{c_2+c_{1}M}{\to }\left[\begin{array}{cc}A& B+AM\\ C& D+CM\end{array}\right]\\ 等价于& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}E& M\\ O& E\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& B+AM\\ C& D+CM\end{array}\right]（列变换需右乘）\end{array}$$

3. 广义倍法变换

与初等倍乘变换类似，广义倍法变换的变换矩阵形式有两种：$\left[\begin{array}{cc}M& O\\ O& E\end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{cc}E& O\\ O& M\end{array}\right]$，其行列式的值为$|M|$，此时分为两种情况：当$|M|\ne 0$时，变换矩阵均可逆，此变换不会改变矩阵的秩；当$|M|=0$时，变换矩阵不可逆，此变换会改变矩阵的秩，这时就不能使用广义倍法变换了。所以，尽量少使用此变换，因为该变换可能会改变矩阵的秩。

（1）第$1$行左乘矩阵$M（|M|\ne 0）$：
$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\stackrel{M{r}_1}{\to }\left[\begin{array}{cc}MA& MB\\ C& D\end{array}\right]\\ 等价于& \left[\begin{array}{cc}M& O\\ O& E\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}MA& MB\\ C& D\end{array}\right]（行变换需左乘）\end{array}$$

（2）第$2$行左乘矩阵$M（|M|\ne 0）$：
$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\stackrel{M{r}_2}{\to }\left[\begin{array}{cc}A& B\\ MC& MD\end{array}\right]\\ 等价于& \left[\begin{array}{cc}E& O\\ O& M\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ MC& MD\end{array}\right]（行变换需左乘）\end{array}$$

（3）第$1$列右乘矩阵$M（|M|\ne 0）$：
$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\stackrel{c_{1}M}{\to }\left[\begin{array}{cc}AM& B\\ CM& D\end{array}\right]\\ 等价于& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}M& O\\ O& E\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}AM& B\\ CM& D\end{array}\right]（列变换需右乘）\end{array}$$

（4）第$2$列右乘矩阵$M（|M|\ne 0）$：
$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\stackrel{c_{2}M}{\to }\left[\begin{array}{cc}A& BM\\ C& DM\end{array}\right]\\ 等价于& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}E& O\\ O& M\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& BM\\ C& DM\end{array}\right]（列变换需右乘）\end{array}$$

（原本还想加一些题目，无奈保存草稿时已经提示爆字数了，所以之后会另开一篇文章专门讲解例题）

续：初等变换和广义初等变换——例题部分