【机器学习】最大似然估计(MLE)和期望最大算法(EM)浅析

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最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）

基本概念

最大似然估计是一种估计统计模型参数的方法，目的是找到使观测数据出现概率最大的参数值。换句话说，MLE 选择使观测数据最可能出现的参数值。对于给定数据集 X = { x 1 , x 2 , … , x n } X = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\} X={
x1​,x2​,…,xn​} 和参数 $\theta$，MLE 通过最大化似然函数 $L(\theta ;X)$ 来估计参数：

$$L(\theta ;X)=P(X|\theta )=\prod _{i=1}^{n}P(x_i|\theta )$$

为了简化计算，通常使用对数似然函数：

$$\ell (\theta ;X)=\log L(\theta ;X)=\sum _{i=1}^n\log P(x_i|\theta )$$

通过最大化对数似然函数 $\ell (\theta ;X)$ 来求得参数 $\theta$ 的估计值。

例子：正态分布参数估计

对于一组来自正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的样本数据，想要估计参数 $\mu$ 和 ${\sigma }^2$。对于正态分布，似然函数为：

$$L(\mu ,{\sigma }^2;X)=\prod _{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(-\frac{(x_i-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$$

对数似然函数为：

$$\ell (\mu ,{\sigma }^2;X)=-\frac{n}{2}\log (2\pi {\sigma }^2)-\frac{1}{2{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2$$

通过对 $\mu$ 和 ${\sigma }^2$ 求导并设为零，可以得到参数的估计值：

$$\hat{\mu }=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$
$${\hat{\sigma }}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\hat{\mu }{)}^2$$

MLE 的特点

• 一致性：在大样本情况下，MLE 估计值会收敛于真实参数。
• 渐进正态性：在大样本下，MLE 估计值的分布趋近于正态分布。
• 高效性：在大样本下，MLE 是最优无偏估计，即它的方差达到 Cramer-Rao 下界。

Python实现

import numpy as np # 生成样本数据 np.random.seed(0) data = np.random.normal(loc=5, scale=2, size=1000) # MLE估计 mu_hat = np.mean(data) sigma_hat = np.std(data, ddof=1) print(f"估计的均值: { 
     mu_hat}") print(f"估计的标准差: { 
     sigma_hat}") 

期望最大化算法（Expectation-Maximization，EM）

基本概念

EM算法是一种迭代方法，用于在存在隐变量或缺失数据的情形下估计模型参数。它包括两个主要步骤：期望步（E步）和最大化步（M步）。

1. E步（Expectation Step）：在给定当前参数估计值 ${\theta }^{(t)}$ 的情况下，计算隐变量的期望值。
2. M步（Maximization Step）：在给定隐变量期望值的情况下，最大化对数似然函数，以更新参数估计值。

例子：高斯混合模型

对于一个包含两个高斯分布的混合模型，观测数据来自这两个分布，但不知道每个数据点来自哪个分布。因此目标是估计每个高斯分布的参数和混合权重。

1. 初始化：随机初始化参数 $\theta =({\mu }_1,{\sigma }_1,{\mu }_2,{\sigma }_2,\pi )$。
2. E步：计算每个数据点属于每个分布的概率（责任值）：

$${\gamma }_{i1}=\frac{{\pi }_1\mathcal{N}(x_i|{\mu }_1,{\sigma }_1^2)}{{\pi }_1\mathcal{N}(x_i|{\mu }_1,{\sigma }_1^2)+{\pi }_2\mathcal{N}(x_i|{\mu }_2,{\sigma }_2^2)}$$
$${\gamma }_{i2}=1-{\gamma }_{i1}$$

3. M步：根据责任值更新参数：

$$m{u}_1^{(t+1)}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{\gamma }_{i1}{x}_i}{{\sum }_{i=1}^n{\gamma }_{i1}}$$
$${\sigma }_1^{(t+1)2}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{\gamma }_{i1}(x_i-{\mu }_1^{(t+1)}{)}^2}{{\sum }_{i=1}^n{\gamma }_{i1}}$$
$${\pi }_1^{(t+1)}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\gamma }_{i1}$$
$${\mu }_2^{(t+1)}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{\gamma }_{i2}{x}_i}{{\sum }_{i=1}^n{\gamma }_{i2}}$$
$${\sigma }_2^{(t+1)2}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{\gamma }_{i2}(x_i-{\mu }_2^{(t+1)}{)}^2}{{\sum }_{i=1}^n{\gamma }_{i2}}$$
$${\pi }_2^{(t+1)}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\gamma }_{i2}$$

4. 重复：重复E步和M步，直到参数收敛。

EM 算法的特点

• 处理隐变量：EM 算法特别适用于有隐变量或不完全数据的情况。
• 收敛性：EM 算法保证每次迭代都不会降低似然函数的值，但不保证找到全局最优解。
• 应用广泛：EM 算法在聚类（如高斯混合模型）、图像恢复、缺失数据填充等领域有广泛应用。

Python实现

import numpy as np from scipy.stats import norm # 生成样本数据 np.random.seed(0) data = np.concatenate([np.random.normal(5, 1, 300), np.random.normal(10, 2, 700)]) # 初始化参数 mu1, sigma1, pi1 = 4, 1, 0.5 mu2, sigma2, pi2 = 8, 1, 0.5 # EM算法 def em_algorithm(data, mu1, sigma1, pi1, mu2, sigma2, pi2, tol=1e-6, max_iter=100): for _ in range(max_iter): # E步 gamma1 = pi1 * norm.pdf(data, mu1, sigma1) gamma2 = pi2 * norm.pdf(data, mu2, sigma2) gamma_sum = gamma1 + gamma2 gamma1 /= gamma_sum gamma2 /= gamma_sum # M步 mu1_new = np.sum(gamma1 * data) / np.sum(gamma1) sigma1_new = np.sqrt(np.sum(gamma1 * (data - mu1_new)2) / np.sum(gamma1)) pi1_new = np.mean(gamma1) mu2_new = np.sum(gamma2 * data) / np.sum(gamma2) sigma2_new = np.sqrt(np.sum(gamma2 * (data - mu2_new)2) / np.sum(gamma2)) pi2_new = np.mean(gamma2) # 检查收敛 if np.abs(mu1_new - mu1) < tol and np.abs(mu2_new - mu2) < tol: break mu1, sigma1, pi1 = mu1_new, sigma1_new, pi1_new mu2, sigma2, pi2 = mu2_new, sigma2_new, pi2_new return mu1, sigma1, pi1, mu2, sigma2, pi2 mu1, sigma1, pi1, mu2, sigma2, pi2 = em_algorithm(data, mu1, sigma1, pi1, mu2, sigma2, pi2) print(f"估计的均值1: { 
     mu1}, 标准差1: { 
     sigma1}, 混合系数1: { 
     pi1}") print(f"估计的均值2: { 
     mu2}, 标准差2: { 
     sigma2}, 混合系数2: { 
     pi2}") 

总结

• 极大似然估计（MLE）是一种直接通过最大化似然函数来估计模型参数的方法，适用于完全观测的数据。MLE 通过最大化观测数据的对数似然函数来找到最优参数。
• 最大期望算法（EM）是一种迭代优化算法，适用于存在隐变量或不完全数据的情况。EM 通过交替执行期望步骤（计算隐变量的期望对数似然函数）和最大化步骤（最大化期望对数似然函数）来逐步优化参数估计。