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W a l l i s Wallis Wallis公式(点火公式)：
I n = ∫ 0 π 2 ( s i n n x ) d x = ∫ 0 π 2 ( c o s n x ) d x = { ( n − 1 ) ! ! n ! ! × π 2 , n 为 正 偶 数 ( n − 1 ) ! ! n ! ! × 1 , n 为 大 于 1 的 奇 数 I_n=\large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(sin^nx)dx=\large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(cos^nx)dx\\=\begin{cases}\dfrac{(n-1)!!}{n!!}\times\dfrac{\pi}{2},n为正偶数\\\dfrac{(n-1)!!}{n!!}\times1\ \ ,n为大于1的奇数\end{cases} In=∫02π(sinnx)dx=∫02π(cosnx)dx=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧n!!(n−1)!!×2π,n为正偶数n!!(n−1)!!×1 ,n为大于1的奇数
特别地： n = 1 时 → ∫ 0 π 2 ( s i n n x ) d x = ∫ 0 π 2 ( c o s n x ) d x = 1 n=1时\rightarrow \large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(sin^nx)dx=\large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(cos^nx)dx=1 n=1时→∫02π(sinnx)dx=∫02π(cosnx)dx=1
推广：
∫ 0 π ( s i n n x ) d x = 2 ∫ 0 π 2 ( s i n n x ) d x \large\int_{0}^\pi(sin^nx)dx=2\large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(sin^nx)dx ∫0π(sinnx)dx=2∫02π(sinnx)dx
∫ 0 π ( c o s n x ) d x = { 0 , n 为 正 奇 数 2 ∫ 0 π 2 ( c o s n x ) d x , n 为 正 偶 数 \large\int_{0}^\pi(cos^nx)dx=\begin{cases}0,n为正奇数\\2\large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(cos^nx)dx,n为正偶数\end{cases} ∫0π(cosnx)dx=⎩⎨⎧0,n为正奇数2∫02π(cosnx)dx,n为正偶数
∫ 0 2 π ( s i n n x ) d x = ∫ 0 2 π ( c o s n x ) d x = { 0 , n 为 正 奇 数 4 ∫ 0 π 2 ( s i n n x ) d x ， n 为 正 偶 数 \large\int_{0}^{2\pi}(sin^nx)dx=\int_{0}^{2\pi}(cos^nx)dx\\=\begin{cases}0,n为正奇数\\ \large4\int_{0}^\frac{\pi}{2}(sin^nx)dx，n为正偶数\end{cases} ∫02π(sinnx)dx=∫02π(cosnx)dx=⎩⎨⎧0,n为正奇数4∫02π(sinnx)dx，n为正偶数
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