矩阵迹（trace）, 行列式（determinate）（转载）

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1. 迹（trace）

迹的来源

最根本的应该就是迹和特征值的和相等。因为特征值如此重要，所以才定义了迹。离开了这一点，我觉得迹也就失去了立足点。

迹与特征值

一直在用迹等于特征值的和来求特征值，但从来没有想过二者究竟是怎么联系起来的。没事儿就重新推了一遍。

一元二次方程的根与系数的关系

推广至一元n次方程

特征值

分开来写就是：

其实质也是一个以λ λλ为未知数的一元n次方程。展开后可以得到如下的形式：
λ n + ( a 11 + a 22 + ⋯ + a n n ) λ n − 1 + a 11 a 22 ⋯ a n n + ⋯ = 0 \lambda^n+(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn})\lambda^{n-1}+a_{11}a_{22}\cdots{a_{nn}}+\cdots=0λn+(a11​+a22​+⋯+ann​)λn−1+a11​a22​⋯ann​+⋯=0
从而可以得到λ \lambdaλ的所有解的和等于( a 11 + a 22 + ⋯ + a n n ) (a_{11}+a{22}+\cdots+a_{nn})(a11​+a22+⋯+ann​)。也就是矩阵的特征值的和等于矩阵的迹。

2. 行列式（determinant）

3. 迹与行列式的关系

迹可以理解为行列式的导数，所以也就表示了在每个边沿自己的方向变化时，该平行四边形的面积或者平行六面体的体积变化的大小。这实际上和特征值非常相关，迹是特征值的和，行列式是特征值的积。

4. 如何理解矩阵的迹

确实，“迹”就是线性变换藏在矩阵中痕迹。

上面那幅图还有个有意思的地方，用了金、篆、隶、楷来写“迹”字，虽然各有千秋，却又“相似”，彷佛在暗示，线代中的“迹”反映出矩阵“相似”这个特征。

a. 什么是线性变换

http://www.360doc.com/content/18/0208/09/15930282_728535853.shtml


这其实也是线性函数，只是一般我们把这称为线性变换。

综合上面两点，其实，所谓矩阵就是指定基下的线性变换。

b. 同一个线性变换在不同基下的矩阵，就是相似矩阵

我们来看看不同基下的矩阵是什么样子的。

下面我会给出所有具体的数字，你可以去计算一下，省得说我骗你。

b.1 标准正交基下的矩阵 A

如何理解矩阵的乘法？https://mp.weixin..com/s?__biz=MzIyMTU0NDMyNA==&mid=2247487771&idx=1&sn=af57d5d9f60ac742e17aa77c8226f30e&chksm=e83a7bf0df4df2e67c323669e537a7e74267c53652c6b9312c401c717a9fd0c2836eba718fff&scene=21#wechat_redirect

b.2 另外一个基下的矩阵

可见淡蓝色网格代表的线性变换是没有发生变化的，只是基不一样了。

b.3 相似矩阵

c 相似矩阵的“迹”都相等

从另外一个观点来看，我们也可以认为“迹”与坐标无关，也可以说“迹”是相似不变量。

d 相似矩阵的“迹”、行列式、特征值的关系

d.1 行列式

d.2 特征值

特征值是两个复数。

你的相貌随着年岁变换，我却还能一眼认出，就是因为其中藏着特征。

什么是特征，不被变换所改变的就是特征。

迹、行列式都是相似变换中的不变量，也就是线性变换的特征，现在全部被特征值表示了出来。看来特征值这个名字名副其实啊。

e 写在最后

行列式、迹似乎都是相似不变量，为什么把“迹”叫这个名字呢？

我想或许是“迹”是对角线之和，更容易一眼看出去来吧。

在历史中为什么命名为“迹”，对于我而言已经不可考了，或许这位先哲也曾经这样思考过吧。