阿氏圆定理证明方法

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阿波罗尼斯圆又称阿氏圆，已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学 家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。

一、基本定义

在平面上给定相异两点A、B，设P点在同一平面上且满足PA/PB= λ，当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。设M、N分别为线段AB按定比λ分割的内分点和外分点，则MN为阿波罗尼斯圆的直径，且MN=[2λ/（λ^2-1）]AB。

归纳到一般结论

此时以AB中点为原点O建立直角坐标系，向量AB方向为X轴正方向，AB中垂线则为Y轴。

设A点为(-t,0),B点坐标（t,0）

圆心坐标应为（(λ^2*t+t)/(λ^2-1),0）；

圆方程为：(x-(λ^2*t+t)/(λ^2-1))^2+y^2=(MN/2)^2

(MN/2)^2=r^2=[(λ^2*t+t)/(λ^2-1)]^2-t^2

只需代入λ与t的具体数值即可，具体问题具体分析

若对于同一A、B，令PA/PB比值乘积为1的两个轨迹，关于线段AB的中垂线对称。

二、证明原理

我们可以通过公式推导出AN的长度：AN:BN=AP:BP ，其中BN=AN+AB，所以AN:(AN+AB)=AP:BP=>AN=AP×AB÷(BP-AP)，以NM为直径的圆就是我们所求的轨迹圆。

三、基本性质

由阿波罗尼斯圆可得阿波罗尼斯定理，即：

设三角形的三边和三中线分别为a、b、c、ma(a为下标，下同）、mb、mc，则有以下关系：

（此定理用余弦定理和勾股定理可以证明）。

四、阿氏圆定理证明方法

阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比m：n，则P点的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆。该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。

举个例题，各尺寸如下图所示，求出线段a的长度。

分析：其中红色的线条(即三角形与圆)都非常的容易，那么线段a与2a该如何来求呢。通过上面的定理介绍结合这两个线段1:2的关系。两线段的交点应该是阿氏圆(m：n=1:2)上的一点，并且为与已知半径为10的圆相交的那一点。

首先，我们先将容易的部分作出。然后将70的边通过divide命令等分为3份(因为比例为1:2)，等分点为A、B两点。

其次，以长70的边的两个端点为圆心，分别做半径为R与2R的两个圆(同样是为了1:2)，R任意，只要满足所作的两个圆相交即可。两圆交与C、D两点。

过C、A、D点通过三点画圆，所得粉色的圆即为所求阿氏圆，与半径为10的已知圆交与O点。将黄色的辅助对象删除，连接O点与长70边的两个端点，最后进行标注即可。

到此，a值已经求出。