微分几何：曲线基本理论

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参数曲线基本理论

曲线的定义

假设有一个运动的质点，从0到T时刻，质点从A点运动到B点，质点运动的轨迹形成了一条曲线，我们可以将这条路径曲线看成是时间$t\in [0,T]$到空间位置$R$的映射。
映射的概念在参数化曲线曲面中十分重要，通过对这种映射概念的一般化，我们可以定义曲线：一条曲线是一个连续映射函数$f$，它把一段一维的区间$[a,b]$映射到3维空间中，$f$的自变量$t$称为$f$的参数，$f$在3维空间中的像就是这条曲线$\mathbf{r}(t)$, 可以记为$\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$

曲线的切向

• 注意，切向量是沿切线的向量，而不是曲线上的斜率

如果$\mathbf{r}(t)$连续可微，且处处${\mathbf{r}}^{\prime }(t)\ne 0$则曲线为正则曲线
${\mathbf{r}}^{\prime }(t)=0$的点称为奇点，可以想象一下，在奇点处速度为0

曲线的长度

弧长参数化

曲线的弯曲和扭转

密切平面

通过一点以及该点切向量的平面有无数多个，其中有一个最贴近曲线的平面，我们称之为密切平面。密切平面的定义，需要用到一些极限的知识，取曲线上P点附近的一个点Q，过直线PQ和P点切向量可以定义一个平面，当Q点趋近于P点时，定义的平面即为密切平面，通过推导可知，密切平面过向量${\mathbf{r}}^{\prime \prime }(t)$，因此可以表达为
$\left(\mathbf{R}-\mathbf{r}(t_0),{\mathbf{r}}^{\prime }(t_0),{\mathbf{r}}^{\prime \prime }(t_0)\right)=0$

Frenet活动标架

曲率和挠率

类同曲率推到可得：
$\mid \dot{\mathbf{\gamma }}\mid ={\lim }_{\Delta s\to 0}\left|\frac{\Delta \psi }{\Delta s}\right|,$
记挠率为：
$\tau (s)=\{\begin{array}{l}+\left|\dot{\mathbf{\gamma }}\right|,\text{当}\dot{\mathbf{\gamma }}\text{和}\beta 异向,\\ -\left|\dot{\mathbf{\gamma }}\right|,\text{当}\dot{\mathbf{\gamma }}\text{和}\beta \text{同向}.\end{array}$

曲线论基本：Frenet公式

我们比较关注的是$\mathbf{\alpha }$,$\mathbf{\gamma }$和$\mathbf{\beta }$对弧长的变化率：
$\{\begin{array}{l}\dot{\mathbf{\alpha }}=k(s)\mathbf{\beta },\\ \dot{\mathbf{\beta }}=-k(s)\mathbf{\alpha }+\tau (s)\mathbf{\gamma },\\ \dot{\mathbf{\gamma }}=-\tau (s)\mathbf{\beta },\end{array}$
上式的证明也很简单：
$\mathbf{\beta }=\frac{\dot{\mathbf{a}}}{|\dot{\mathbf{\alpha }}|}=\frac{\ddot{\mathbf{r}}}{|\ddot{\mathbf{r}}|}$ 得到 $\dot{\mathbf{\alpha }}=k(s)\mathbf{\beta }$
$\dot{\mathbf{\gamma }}=\dot{(\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta })}=\dot{\mathbf{\alpha }}\times \mathbf{\beta }+\mathbf{\alpha }\times \dot{\mathbf{\beta }}=k\left(s\right)\mathbf{\beta }\times \mathbf{\beta }+\mathbf{\alpha }\times \dot{\mathbf{\beta }}=\mathbf{\alpha }\times \dot{\mathbf{\beta }}$，所以可知$\dot{\mathbf{\gamma }}$垂直于$\mathbf{\alpha }$
由$\mathbf{\gamma }$是单位向量，可得$\mathbf{\gamma }$垂直于$\dot{\mathbf{\gamma }}$，所以$\dot{\mathbf{\gamma }}$平行于$\mathbf{\beta }$
$\{\begin{array}{l}\dot{\alpha }=k(s)\beta ,\\ \dot{\beta }=-k(s)\alpha +\tau (s)\gamma ,\\ \dot{\gamma }=-\tau (s)\beta ,\end{array}$
这组公式是空间曲线论的基本公式.它的特点是基本向量$\alpha ,\beta ,\gamma$关于弧长 s 的微商可以用$\alpha ,\beta ,\gamma$的线性组合来表示，它的系数组成反称的方阵
$\left[\begin{array}{ccc}0& k(s)& 0\\ -k(s)& 0& \tau (s)\\ 0& -\tau (s)& 0\end{array}\right]$