数学建模清风课程笔记——第二章 TOPSIS法

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TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution)可翻译为逼近理想解排序法，国内简称为优劣解距离法。

TOPSIS法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能够精确地反映各评价方案之间的差距。

评价类问题

1 TOPSIS法

TOPSIS法概念：

1. TOPSIS法是一种常用的综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能够精确地反映个评价方案之间的差距。
2. 基本过程为先将原始数据矩阵统一指标类型（一般正向化处理）得到正向化的矩阵，再针对正向化的矩阵进行标准化处理以消除各指标量纲的影响，并找到有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算各评价对象与最优方案与最劣方案之间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。

1.1 第一步：将原始矩阵正向化

所谓的正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为极大型指标。（注意：转换的函数形式不唯一）

• 极大型指标：数值越大越好的指标，如成绩。
• 极小型指标：数值越小越好的指标，如争吵次数。

下表展示最常见的四种指标：

1.1.1 极小型指标->极大型指标

转换方法：

1. max-x
2. 如果所有的元素都是正数，也可以使用$\frac{1}{x}$。

示例如下表：

1.1.2 中间型指标->极大型指标

转换方法：

{
$x_i$}是一组中间型指标序列，且最佳的数值为$x_{best}$，那么正向化的公式如下： M = m a x { ∣ x i − x b e s t ∣ } , x i ′ = 1 − ∣ x i − x b e s t ∣ M M=max\{|x_{i}-x_{best}|\},xi’=1-\frac{|x_{i}-x_{best}|}{M} M=max{
∣xi​−xbest​∣},xi′=1−M∣xi​−xbest​∣​

示例如下：

1.1.3 区间型指标->极大型指标

转换方法：

{
$x_i$}是一组中间型指标序列，且最佳区间为$[a,b]$，那么正向化公式如下: M = m a x { a − m i n { x i } , m a x { x i } − b } ， x i ′ = { 1 − a − x M ， x < a 1 , a ≤ x ≤ b 1 − x − b M , x > b \begin{equation} M=max\{a-min\{x_{i}\},max\{x_{i}\}-b\} \end{equation} ，x_{i}’=\begin{cases} 1-\frac{a-x}{M}，x<a \\ 1 \uad ,a≤x≤b \\ 1-\frac{x-b}{M},x>b\end{cases} M=max{
a−min{
xi​},max{
xi​}−b}​​，xi′​=⎩
⎨
⎧​1−Ma−x​，x<a1,a≤x≤b1−Mx−b​,x>b​

示例如下：

1.2 第二步：正向化矩阵标准化

目的：标准化是为了消除不同指标量纲的影响。

转换方法：

1.3 计算得分并归一化

转换方法：

2 例题