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数据结构之二叉搜索树（key模型与key_value模型）

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数据结构之二叉搜索树（key模型与key_value模型）今天我来介绍的是二叉搜索树 这一块我希望大家如果有不会的地方下来好好理解 这一节课与下一节的 set map 关联挺大的

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二叉搜索树（key模型与key_value模型）

今天我来介绍的是二叉搜索树，这一块我希望大家如果有不会的地方下来好好理解，这一节课与下一节的set/map关联挺大的。

1. ⼆叉搜索树的概念

⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树:

–• 若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值

–• 若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值

–• 它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树

–• ⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义，后续我们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不⽀持插⼊相等值，multimap/multiset⽀持插⼊相等值.(multimap/multiset)这一块我们下一节介绍,今天我主要介绍的是不允许冗余的情况

在这里插入图片描述

2. ⼆叉搜索树的性能分析

最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为： O(log2 N)
最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其⾼度为： O( N/2)
所以综合⽽⾔⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为： O(N)

那么这样的效率显然是⽆法满⾜我们需求的，我们后续课程需要继续讲解⼆叉搜索树的变形，平衡⼆叉搜索树AVL树和红⿊树，才能适⽤于我们在内存中存储和搜索数据。

另外需要说明的是，⼆分查找也可以实现 O(logN) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：

  1. 需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。
  2. 插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数据。

这⾥也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。

在这里插入图片描述

3. ⼆叉搜索树的插⼊

以上的基本知识我们学习完后就来看一下二叉树的插入。

1、树为空，我们直接将第一个插入的节点作为根节点即可。
2、数不为空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。

3. 如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛）（这里我建议向左走，后序我们会学习平衡的概念，这棵树失衡的情况下，右节点会跑到左边）

这里我们可以按照之前学习二叉树时，二叉树的构建一样采用递归来插入，但这里有个简单的方式那就是循环，我们直接比较当前节点的值与插入的值的大小，如果小于就走左，大于就走右，等于直接就返回false（这里我只写不允许冗余，大家下来可以考虑有冗余的情况），如果当前节点走到空了，那这个位置就是我们需要插入的位置。

节点类：

template<class k>//k就是我们的key struct BSTNode { 
     k _key; BSTNode<k>* _left; BSTNode<k>* _right; BSTNode(const k& x) :_key(x), _left(nullptr), _right(nullptr) { 
    }//构造 }; //节点

插入部分：

bool insert(const k& x) { 
     if (_root == nullptr) { 
     _root = new Node(x); } //根节点为空 Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { 
     if (x < cur->_key) { 
     parent = cur; cur = cur->_left; } else if (x > cur->_key) { 
     parent = cur; cur = cur->_right; } else return false; } //找到该插入的位置，为cur cur = new Node(x); //找到以后还需要判断它插入在父节点哪一边 if (x < parent->_key) { 
     parent->_left = cur; } else { 
     parent->_right = cur; } return 0; }

这里是需要引入cur（当前节点）的parent（父亲指针）的，因为我们要插入节点，需要将插入的节点与整棵树链接。

这一块写完不好测试对吧，因为调试窗口只能看到节点插入与否，那我们写一个中序遍历，首先搜索二叉树永远是一个左小于根，根小于右的结构，中序遍历一定是一个递增的数列，这一块要是不知道的建议去其他地方找视频看，文字不好演示，这里就不做演示了。

void _inorder(const Node* root) { 
     if (root == nullptr) return; _inorder(root->_left); cout << root->_key << ' '; _inorder(root->_right); } 
void inorder() { 
     _inorder(_root); cout << endl; }

这样就搞定了。

4. ⼆叉搜索树的查找

  1. 从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x⽐根值⼩则往左边⾛查找。
  2. 最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。
  3. 如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回
  4. 如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要找到1的右孩⼦的那个3返回

在这里插入图片描述
写完插入写查找是不是就太简单了啊

Node* find(const k& x) { 
     Node* cur = _root; while (cur) { 
     if (x < cur->_key) cur = cur->_left; else if (x > cur->_key) cur = cur->_right; else return cur; } return nullptr; }

这里我们就不需要parent了，因为我们只是查找当前节点在不在，跟父节点没有半毛钱关系对吧。

5. ⼆叉搜索树的删除

⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。

如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

  1. 要删除结点N左右孩⼦均为空
  2. 要删除的结点N左孩⼦位空，右孩⼦结点不为空
  3. 要删除的结点N右孩⼦位空，左孩⼦结点不为空
  4. 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空
bool erase(const k& x) { 
     Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { 
     if (x < cur->_key) { 
     parent = cur; cur = cur->_left; } else if (x > cur->_key) { 
     parent = cur; cur = cur->_right; } else//找到当前位置 { 
     if (cur->_left == nullptr)//左为空 { 
     if (_root == cur)//特殊情况，当cur为空，且左为空，就将根移动 { 
     _root = cur->_right; } else { 
     if (cur == parent->_left) parent->_left = cur->_right; else parent->_right = cur->_right; } delete cur; } else if (cur->_right == nullptr)//右为空 { 
     if (_root == cur)//同上 { 
     _root = cur->_left; } else { 
     if (cur == parent->_left) parent->_left = cur->_left; else parent->_right = cur->_left; } delete cur; } else//双边节点 { 
     Node* replaceparent = cur; Node* replace = cur->_right; while (replace->_left) { 
     replaceparent = replace; replace = replace->_left; } cur->_key = replace->_key; //replace的左边一定没有节点了 if (replace == replaceparent->_left) replaceparent->_left = replace; else replaceparent->_right = replace; delete replace; } return true; } } return false; }

6. ⼆叉搜索树的实现代码

#include<iostream> using namespace std; namespace key { 
     template<class k> struct BSTNode { 
     k _key; BSTNode<k>* _left; BSTNode<k>* _right; BSTNode(const k& x) :_key(x), _left(nullptr), _right(nullptr) { 
    } }; //节点 template<class k> class BSTree { 
     typedef BSTNode<k> Node; public: BSTree() = default;//强制生成构造 BSTree(const BSTree& t) { 
     _root = copy(t._root); }//拷贝构造，这块比较简单，如果实在不懂的话私聊我 BSTree& operator=(BSTree t) { 
     swap(_root, t._root); return *this; }//赋值构造 ~BSTree() { 
     destroy(_root); _root = nullptr; }//析构采用一个后序遍历即可 bool insert(const k& x) { 
     if (_root == nullptr) { 
     _root = new Node(x); } //根节点为空 Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { 
     if (x < cur->_key) { 
     parent = cur; cur = cur->_left; } else if (x > cur->_key) { 
     parent = cur; cur = cur->_right; } else return false; } //找到该插入的位置，为cur cur = new Node(x); if (x < parent->_key) { 
     parent->_left = cur; } else { 
     parent->_right = cur; } return 0; } void inorder() { 
     _inorder(_root); cout << endl; } bool erase(const k& x) { 
     Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { 
     if (x < cur->_key) { 
     parent = cur; cur = cur->_left; } else if (x > cur->_key) { 
     parent = cur; cur = cur->_right; } else//找到当前位置 { 
     if (cur->_left == nullptr) { 
     if (_root == cur) { 
     _root = cur->_right; } else { 
     if (cur == parent->_left) parent->_left = cur->_right; else parent->_right = cur->_right; } delete cur; } else if (cur->_right == nullptr) { 
     if (_root == cur) { 
     _root = cur->_left; } else { 
     if (cur == parent->_left) parent->_left = cur->_left; else parent->_right = cur->_left; } delete cur; } else//双边节点 { 
     Node* replaceparent = cur; Node* replace = cur->_right; while (replace->_left) { 
     replaceparent = replace; replace = replace->_left; } cur->_key = replace->_key; //replace的左边一定没有节点了 if (replace == replaceparent->_left) replaceparent->_left = replace; else replaceparent->_right = replace; delete replace; } return true; } } return false; } Node* find(const k& x) { 
     Node* cur = _root; while (cur) { 
     if (x < cur->_key) cur = cur->_left; else if (x > cur->_key) cur = cur->_right; else return cur; } return nullptr; } private: void _inorder(const Node* root) { 
     if (root == nullptr) return; _inorder(root->_left); cout << root->_key << ' '; _inorder(root->_right); } void destroy(Node* root) { 
     if (root == nullptr) return; destroy(root->_left); destroy(root->_right); delete root; } Node* copy(Node* root) { 
     if (root == nullptr) return nullptr; Node* r = new Node(root->_key); r->_left = copy(root->_left); r->_right = copy(root->_right); return r; } Node* _root = nullptr; }; }

这份代码是key的模型，什么是key_value呢？就是每个节点存储两个值，key跟上面写的一样作为插入删除等等的基准，value想存啥就存啥。

7. ⼆叉搜索树key和key/value使⽤场景

7.1 key搜索场景：

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不⽀持修改，修改key破坏搜索树结构了。

场景1：⼩区⽆⼈值守⻋库，⼩区⻋库买了⻋位的业主⻋才能进⼩区，那么物业会把买了⻋位的业主的⻋牌号录⼊后台系统，⻋辆进⼊时扫描⻋牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提⽰⾮本⼩区⻋辆，⽆法进⼊。

场景2：检查⼀篇英⽂⽂章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放⼊⼆叉搜索树，读取⽂章中的单词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提⽰。

7.2 key/value搜索场景：

每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改，但是不⽀持修改key，修改key破坏搜索树结构了，可以修改value。

场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输⼊英⽂，则同时查找到了英⽂对应的中⽂。

场景2：商场⽆⼈值守⻋库，⼊⼝进场时扫描⻋牌，记录⻋牌和⼊场时间，出⼝离场时，扫描⻋牌，查找⼊场时间，⽤当前时间-⼊场时间计算出停⻋时⻓，计算出停⻋费⽤，缴费后抬杆，⻋辆离场。

场景3：统计⼀篇⽂章中单词出现的次数，读取⼀个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第⼀次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。

7.3 key/value⼆叉搜索树代码实现

这里只需要增加一个模版参数即可

namespace key_value { 
     template<class k,class v> struct BSTNode { 
     k _key; v _value; BSTNode<k,v>* _left; BSTNode<k,v>* _right; BSTNode(const k& x,const v& y) :_key(x), _value(y), _left(nullptr), _right(nullptr) { 
    } }; //节点 template<class k,class v> class BSTree { 
     typedef BSTNode<k,v> Node; public: BSTree() = default;//强制生成构造 BSTree(const BSTree& t) { 
     _root = copy(t._root); } BSTree& operator=(BSTree t) { 
     swap(_root, t._root); return *this; } ~BSTree() { 
     destroy(_root); _root = nullptr; } bool insert(const k& x,const v& y) { 
     if (_root == nullptr) { 
     _root = new Node(x, y); } //根节点为空 Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { 
     if (x < cur->_key) { 
     parent = cur; cur = cur->_left; } else if (x > cur->_key) { 
     parent = cur; cur = cur->_right; } else return false; } //找到该插入的位置，为cur cur = new Node(x,y); if (x < parent->_key) { 
     parent->_left = cur; } else { 
     parent->_right = cur; } return 0; } void inorder() { 
     _inorder(_root); cout << endl; } bool erase(const k& x) { 
     Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { 
     if (x < cur->_key) { 
     parent = cur; cur = cur->_left; } else if (x > cur->_key) { 
     parent = cur; cur = cur->_right; } else//找到当前位置 { 
     if (cur->_left == nullptr) { 
     if (_root == cur) { 
     _root = cur->_right; } else { 
     if (cur == parent->_left) parent->_left = cur->_right; else parent->_right = cur->_right; } delete cur; } else if (cur->_right == nullptr) { 
     if (_root == cur) { 
     _root = cur->_left; } else { 
     if (cur == parent->_left) parent->_left = cur->_left; else parent->_right = cur->_left; } delete cur; } else//双边节点 { 
     Node* replaceparent = cur; Node* replace = cur->_right; while (replace->_left) { 
     replaceparent = replace; replace = replace->_left; } cur->_key = replace->_key; //replace的左边一定没有节点了 if (replace == replaceparent->_left) replaceparent->_left = replace; else replaceparent->_right = replace; delete replace; } return true; } } return false; } Node* find(const k& x) { 
     Node* cur = _root; while (cur) { 
     if (x < cur->_key) cur = cur->_left; else if (x > cur->_key) cur = cur->_right; else return cur; } return nullptr; } private: void _inorder(const Node* root) { 
     if (root == nullptr) return; _inorder(root->_left); cout << root->_key << "->" << root->_value << endl; _inorder(root->_right); } void destroy(Node* root) { 
     if (root == nullptr) return; destroy(root->_left); destroy(root->_right); delete root; } Node* copy(Node* root) { 
     if (root == nullptr) return nullptr; Node* r = new Node(root->_key,root->_value); r->_left = copy(root->_left); r->_right = copy(root->_right); return r; } Node* _root = nullptr; }; }

8、运用于实际的key_value

void test4() { 
     string arr[] = { 
     "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜", "苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" }; key_value::BSTree<string, int> countTree; for (const auto& str : arr) { 
     // 先查找水果在不在搜索树中 // 1、不在，说明水果第一次出现，则插入<水果, 1> // 2、在，则查找到的结点中水果对应的次数++ //BSTreeNode<string, int>* ret = countTree.Find(str); auto ret = countTree.find(str); if (ret == nullptr) { 
     countTree.insert(str, 1); } else { 
     // 修改value ret->_value++; } } countTree.inorder(); key_value::BSTree<string, int> copy = countTree; copy.inorder(); }

在这里插入图片描述


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上一篇 2025-09-21 18:45
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