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托里拆利小号悖论
如果我告诉你，有一个小号，它的体积有限，但表面积无限大，你会相信吗？
也许你不相信，但的确由这样的小号。意大利数学家托里拆利将 y = 1 x y=\dfrac 1x y=x1中 x ≥ 1 x\geq 1 x≥1的部分绕 x x x轴旋转一圈，得到了下面这个小号状的旋转体。这个小号的体积有限，但表面积无限大。
我们来计算一下。
通过定积分求旋转体的体积的知识，可得
V = π ∫ 1 + ∞ 1 x 2 d x = π ⋅ ( − 1 x ) ∣ 1 + ∞ = π \uad V=\pi\int_1^{+\infty}\dfrac{1}{x^2}dx=\pi\cdot (-\dfrac 1x)\bigg\vert_1^{+\infty}=\pi V=π∫1+∞x21dx=π⋅(−x1)
1+∞=π
通过定积分求旋转曲面的面积的知识，可得
S = 2 π ∫ 1 + ∞ 1 x 1 + ( − 1 x 2 ) 2 d x = 2 π ∫ 1 + ∞ 1 x 1 + 1 x 4 d x \uad S=2\pi\int_1^{+\infty}\dfrac 1x\sqrt{1+(-\dfrac{1}{x^2})^2}dx=2\pi\int_1^{+\infty}\dfrac 1x\sqrt{1+\dfrac{1}{x^4}}dx S=2π∫1+∞x11+(−x21)2dx=2π∫1+∞x11+x41dx
= 2 π ∫ 1 + ∞ x 4 + 1 x 3 d x \uad \quad = 2\pi\int_1^{+\infty}\dfrac{\sqrt{x^4+1}}{x^3}dx =2π∫1+∞x3x4+1dx
因为 x 4 + 1 x 3 ≥ x 4 x 3 = 1 x \dfrac{\sqrt{x^4+1}}{x^3}\geq\dfrac{\sqrt{x^4}}{x^3}=\dfrac 1x x3x4+1≥x3x4=x1，所以
S = 2 π ∫ 1 + ∞ x 4 + 1 x 3 d x ≥ 2 π ∫ 1 + ∞ 1 x d x = 2 π ( ln x ) ∣ 1 + ∞ = + ∞ \uad S=2\pi\int_1^{+\infty}\dfrac{\sqrt{x^4+1}}{x^3}dx\geq2\pi\int_1^{+\infty}\dfrac 1xdx=2\pi(\ln x)\bigg\vert_1^{+\infty}=+\infty S=2π∫1+∞x3x4+1dx≥2π∫1+∞x1dx=2π(lnx)
1+∞=+∞
由此可得，托里拆利小号的体积有限，表面积无限大。
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