李群和李代数

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1. 群的定义

群(Group)是一种集合加上一种运算的代数结构，以A表示集合，“·”表示运算，则群一般写作 G(A, ·)。群要求满足以下四个条件：

举个例子，旋转矩阵和乘法可以构成旋转矩阵群，因为其满足：

1). 旋转矩阵相乘后仍是旋转矩阵； 2). 矩阵乘法满足结合律； 3). 幺元为单位矩阵，也属旋转矩阵； 4). 旋转矩阵的逆也为旋转矩阵，且相乘为单位矩阵。 

2. 李群

李群是指拥有(连续)光滑性质的群，比如上面提到的旋转矩阵群，因其能在空间中连续旋转，变换矩阵群也是李群（就是在旋转过程中加上平移）。

3. 李代数的引入

直观的导出

数学层面的导出

（之后的部分《视觉SLAM 十四讲》里写得已经很精炼很清楚了，这里大概重述一遍以加深印象，也方便以后的查询）

先给一个结论：李代数对应李群的正切空间，描述了李群的局部导数。

4. 李代数的定义

5. 李代数so(3)

由上面的结果可得，三维向量$\varphi$为李群SO(3)所对应的，定义在${\Re }^3$上的李代数，每个$\varphi$对应一个反对称矩阵：$$\Phi =\varphi (t{)}^{\wedge }R(t)=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\varphi }_3& {\varphi }_2\\ {\varphi }_3& 0& -{\varphi }_1\\ -{\varphi }_2& {\varphi }_1& 0\end{array}\right]\in {\Re }^{3\times 3}$$
两个向量${\varphi }_1,{\varphi }_2$的李括号为：$$[{\varphi }_1,{\varphi }_2]=({\Phi }_1{\Phi }_2-{\Phi }_2{\Phi }_1{)}^{\vee }$$
它与SO(3)的关系由指数映射指定：$$R=exp({\varphi }^{\wedge })$$

6. 李代数se(3)

SE(3)对应的李代数se(3)与so(3)类似，但其定义在${\Re }^6$空间中，如下：

我们把每个se(3)的元素记作$\xi$，表示一个六维向量，前三维表平移，但不同于变换矩阵的平移，记作$\rho$，后三维表旋转，记作$\varphi$，其实就是上面提到的so(3)元素。se(3)表示如下（注：这里的$\wedge$不再表示反对称矩阵，而是表示六维向量向四维矩阵的转换）：
$${\xi }^{\wedge }=\left[\begin{array}{cc}{\varphi }^{\wedge }& \rho \\ 0^T& 0\end{array}\right]$$
(注：$\wedge$和$\vee$这里表示“从向量到矩阵”和“从矩阵到向量”，se(3)可理解成：由平移加上一个so(3)元素构成的向量)
其李括号为：$$[{\xi }_1,{\xi }_2]=({\xi }_1^{\wedge }{\xi }_2^{\wedge }-{\xi }_2^{\wedge }{\xi }_1^{\wedge }{)}^{\vee }$$

7. 指数与对数映射

矩阵的指数如$exp({\varphi }^{\wedge })$在李群李代数中称为指数映射。

关于so(3)的映射

那么如何计算$exp({\varphi }^{\wedge })$呢？首先，任何矩阵$A$的指数都可以表示成一个泰勒展开，但只有收敛的情况下才会有结果，结果如下：$$exp(A)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}{A}^n$$
即是对so(3)的元素有：$$exp({\varphi }^{\wedge })=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}({\varphi }^{\wedge }{)}^n$$
但要计算这个太复杂，因为有无穷次幂。所以一般情况下我们用下面的方法：$\varphi$是一个三维向量，我们定义其模长和方向，分别记为$\theta$和$a$，写作$\varphi =\theta a$，这里$a$的模长为1.即: $||a||=1$:
$$a=[a_1,a_2,a_3{]}^T$$ $$a_1^2+a_2^2+a_3^2=1$$
对于$a^{\wedge }$有以下性质：

图里的两个式子提供了处理高阶$a^{\wedge }$的方法，所以其指数映射可写成一个神奇的形式：（最好自己写一遍）


这个式子与罗德里格斯公式如出一辙。

关于se(3)的映射（待补充。。。）

与so(3)的过程类似，所以这里主要给结论（这个过程没具体算，之后补上。）。
se(3)的指数映射形式如下：

同样令$\varphi =\theta a$，$a$为单位向量，则：

从结果来看，$\xi$的指数映射左上角的$R$就是上面的SO(3)，与se(3)中的旋转部分$\varphi$对应，而右上角的$J$由上面图里的推导给出，即：

映射表*

本文主要参考《视觉SLAM十四讲》