函数的四种特性——有界性 单调性 奇偶性 周期性

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1、有界性

设f(x)的定义城为D,数集I⊂D.如果存在某个正数M,使对任一x∈I,有|f(x)|≤M,则称f(x)在I上有界:如果这样的M不存在，则称f(.x)在I上无界。

[注] (1)从几何上看， 如果在给定的区问，函数y= f(x)的图形能够被直线y=-M和y=M “完全包起来”，则为有界;从解析上说，找到某个正数M，使得|f(x)|≤M,则为有界.(2)有界还是无界的讨论首先是指明区间I,不知区间，无法谈论有界性.比如y=x(1)在(2, +∞)内有界。但在(0.2)内无界.(3)事实上。只要在区间1上存在点.ro,使得函数limf(x)的值为无穷大，则没有任何两条直线y=-M和y=M可以把I上的f(x)“包起来”，这就叫无界.

2、单调性

设f(x)的定义城为D,区间I⊂D.如果对于区间I上任意两点x1,x2.当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)则称f(x)在区间I上单调增加.如果对于区间I上任意两点x1,x2.当x1<x2时，恒有f(x1)>f(x2)时则称f(x)在区间I上单调减少。

3、奇偶性

设f(x)的定义域D关于原点对称(即若x∈D，则-x∈D).如果对于任-x∈D,恒有f(-x)=f(x)(.r)则称f(x)为偶函数.如果对于任一x∈D,恒f(-x)=- f(x),则f(x为奇函数.我们熟知的是偶函数的图形关于y铀对称，奇函数的图形关于原点对称。

4、周期性

设f(x)的定义域为D,如果存在一个正数T，使得对于任一x∈D,有r±T∈D,f(x+T)=f(x).则称f(.x)为周期函数，T称为f(x)的周期。从几何图形上看，在周期函数的定义域内,相邻两个长度为T的区间上，函数的图形完全一样.

5、重要结论✬✬✬（必背）

①若f(x)是可导的偶函数，则f’ (x)是奇函数。

②若f(x) 是可导的奇函数,则f’ (x)是偶函数。

③若f(r) 是可导的周期为T的周期函数，则f’ (x)也是以T为周期的周期函数。

④连续的奇函数的一切原函数都是偶函数。

⑤连续的偶函数的原函数中仅有一个原函数是奇函数。

⑥若连续函数f(x) 以T为周期且∫T 0f(x)dx=0,则f(x)的一切原函数也以T为周期。

⑦若f(x) 在有限区间(a,b)内可导且f'(x) 有界，则f(x)在(a,b)内有界。（用导数的大小控制函数的大小如果有限区间内导数有界，函数必有界，但函数没办法控制导数→导数f'(x)叫变化率。在一个有限的区间内如果变化率有界，函数必有界。可回答拉格朗日中值定理的作用）

拓展：若f'(x)=+∞⟹f(x)=+∞​