【矩阵论】内积空间与等距变换（1）

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内积空间与等距变换之基本概念

一. 内积

1.内积的定义和性质

（1）内积的定义

四条性质分别说明：
①内积满足正定性
②内积满足可加性
③内积满足齐性
④交换两个元素进行内积运算得到的结果互为共轭数

（2）由内积定义的空间

①内积空间

定义了内积的线性空间称为内积空间

②欧几里得空间和酉空间

特别地，因为欧几里得空间的数域集合为实数域，所以不存在所谓“共轭”一说。欧几里得空间中对应的性质【<α，β> = <β，α>】称作对称性。

（3）一些内积空间的示例

上述1-3都是欧几里得空间，4是酉空间。

对于空间4来说，其运算方式就是某一复向量乘上另一复向量的共轭。至于“为什么一定要在运算定义的时候加上【共轭】”是为了满足内积定义的正定性。

而根据共轭运算的性质，也可以验证空间4中的定义是满足共轭对称性的。

上述空间1和空间4是最为常见的夜视最符合常理的两个内积定义，因此常把其二者称为标准内积。

后续如果提到Rⁿ和Cⁿ，没有特殊说明，均是指上图中定义的两个标准内积。

（4）内积的性质（归纳总结）

①内积不论是对第一个元素还是第二个元素均满足可加性

在内积的定义中已经说明了对于第一个元素是满足可加性的，这一条性质对于第二个元素进行补充。

②内积对第二个元素只满足“共轭”齐性（自己编的名字…）

③内积运算“线性性”的有限拓展

从左向右看，因为对于第一个元素和第二个元素均满足可加性，所以求和符号均可以提出去。

再利用内积运算对于第一个元素的齐性和对于第二个元素的“共轭齐性”，将内积中的系数提出并有相应的形式。

④零元素参与的内积结果为0

2.内积的简易表示——度量矩阵

（1）度量矩阵的定义

按照上述定义，在一个空间中，给定了一组基之后，两个向量的内积结果和其度量矩阵是一一对应的。

（2）度量矩阵的特点

所谓A = A^T，就是说<εi,εj> = <εj,εi>

而A = A^H，就是说<εi,εj> = <εj,εi>的共轭

我们把满足A = A^H的矩阵A称为Hermit矩阵。

Hermit矩阵及其性质是对我们大学线性代数中【正定矩阵】的推广和定义。

二. 向量的度量性质（模长、距离、夹角）

1. 向量模长的定义和性质

（1）模长定义

（2）模长性质

①判断零向量的充要条件

换句话说，非零向量的模长应该要大于零，这一点也和内积的定义中的第一点相吻合。

其中符号|k|的含义取决于k隶属于哪种数域，如果在实数域中讨论，|k|称作是k的绝对值；如果在复数域中讨论，|k|称作是k的模。

③向量的单位化

通过引入了第二条性质，说明了向量具有数乘性之后，对于任意一个给定的向量，均可以通过【单位化】的手段，将其转变成一个单位向量。

2. 向量的夹角和距离

（1）两个重要不等式

①C-B不等式

②三角不等式

在以前讨论过的二维平面和向量空间中我们已经很熟悉三角不等式了，在二维平面中，三角不等式还有一个几何意义就是对于三角形来说，【两边之和一定大于第三边】，现在我们要证明三角不等式在抽象的线性空间上依然成立。

（2）向量之间的距离

要比较两个向量的距离，把两个向量的起点移到同一点，比较两个向量终点间的距离。

②三角不等式的距离形式

（3）向量的正交

①正交的定义

若向量α和β的内积为零，则称α和β是正交的。记作：α⊥β。

②勾股定理

证明：利用模长和内积之间的关系【<α，α> = ||α||²】以及向量正交的定义【<α，β> = 0↔α和β正交】

三. （标准）正交基

1. （标准）正交基的定义

（1）引入时机

在前面我们对向量的模长以及向量的夹角（正交）都进行了讨论，那么自然地，我们就可以像线性代数那样引出标准正交向量基的概念，将这一概念在抽象线性空间中进行推广。

（2）定义

在这里说明一下，所谓（标准）正交基的概念都是从相应的向量组之间过渡得到的，也就是说将一组基看成是一组向量组的时候，如果他是（标准）正交的，那么它就是（标准）正交基。

（3）引入原因

为什么要引出标准正交向量基？——任意向量在标准正交基下进行表示的形式十分简单。

2. 标准正交基下的运算

（1）标准正交基下的内积

（2）Schmidit正交化方法

前面已经讨论过拥有了标准正交向量基之后，向量之间的运算表示会得到很大的简化，因此，若给定了任意一组基，我们希望它是标准正交的。

设给定的一组基α1，α2，…，αs∈V是线性无关的。

①正交化过程

正交化后得到的一组向量β1，β2，…，βs，它们两两之间都是正交的。

②单位化过程

因此，可知道，任意给定的一组基都存在其相应的标准正交向量基

【例】标准正交向量基的求解 – 1

【例】标准正交向量基的求解 – 2

<正交化>

题目中给出了内积的严格定义，不管是求内积还是求模长，都要严格按照定义进行积分运算。

<单位化的过程此处省略，读者可以自行计算>

（3）酉矩阵

①定义

当矩阵A是实矩阵，那么就有A^H（念作：A的共轭转置矩阵） = A^T

②命题和性质

前面就说过了酉矩阵的概念本身就是正交矩阵的拓展，所以以下命题都可以用正交矩阵进行类比。

③定理1（“酉矩阵对于讨论标准正交基有什么作用呢？”）

④定理2（“任意一个子空间的基是否可以扩充成整个线性空间的基”）