信号与系统第七章（z变换）

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一、z变换

1、z变换公式

（1）一个单位冲激响应为 h[n] 的线性时不变系统，对 $z^{n}$ 复数输入信号的响应 y[n] 为 $y[n]=H(z)z^{n}$ ，其中 $H(z)=\sum_{n=-\infty }^{+\infty }h[n]z^{-n}$ ，若 $z=e^{j\omega }$ （ $\omega$ 为实数， $\left | z \right |=1$ ，在z平面上 $z=e^{j\omega }$ 称为单位圆），则 H(z) 对应于 h[n] 的傅里叶变换，对一般的复变量z来说， H(z) 称为单位冲激响应 h[n] 的z变换。

（2）一个信号 x[n] 的z变换定义为 $X(z)=\sum_{n=-\infty }^{+\infty }x[n]z^{-n}$ ，常把 x[n] 和 X(z) 的变换关系记为

（3）可将复变量z表示成极坐标形式 $z=re^{j\omega }$ ，示z的模， $\omega$ 表示z的相角，如此则有

（4） x[n] 的z变换可以看成是 x[n] 乘以一个实指数信号以后的傅里叶变换，即

2、收敛域ROC和零-极点图

（1）z变换与傅里叶变换一样存在收敛问题，并非任何信号的z变换都存在，也不是z平面上的任何复数都能使z变换收敛。

（2）在给出一个信号的z变换时，代数表示式和该表示式能成立的变量z值的范围都应该给出。

（3）一般称使求和式 $X(z)=\sum_{n=-\infty }^{+\infty }x[n]z^{-n}$ 收敛的z值的范围为z变换的收敛域，简记为ROC。

（4）如果一个信号的z变换的ROC包含单位圆，则信号的傅里叶变换也存在。

（5）对于有理z变换来说，在分子多项式的那些根上有 X(z)=0 ，故称分子多项式的根为 X(z) 的零点；在分母多项式的那些根上有 X(z) 变成无界，故称分母多项式的根为 X(z) 的极点。（如果某个零点和某个极点相同，可以相互抵消）

（6）通过z平面内的极点（用“×表示”）和零点（用“○”表示）的 X(z) 的表示就称为 X(z)

的零-极点图。

3、举例

（1）例1：

（2）例2：

（3）例3：

（4）例4：

二、z变换的收敛域

1、性质

（1） X(z) 的收敛域是在z平面内以原点为中心的圆环。

（2）收敛域内不包含任何极点。

（3）如果 x[n] 是有限长序列，那么收敛域就是整个z平面，可能除去 z=0 和/或 $z=\infty$ 。

（4）如果 x[n] 是一个右边序列，并且 $\left | z \right |=r_{0}$ 的圆位于收敛域内，那么r_{0}”>的全部有限z值都一定在这个收敛域内。

（5）如果 x[n] 是一个左边序列，并且 $\left | z \right |=r_{0}$ 的圆位于收敛域内，那么 $0<\left | z \right |<r_{0}$ 的全部有限z值都一定在这个收敛域内。

（6）如果 x[n] 是一个双边序列，并且 $\left | z \right |=r_{0}$ 的圆位于收敛域内，那么在该收敛域中一定是包含 $\left | z \right |=r_{0}$ 这一圆环的环状区域。

（7）如果 x[n] 的z变换 X(z) 是有理的，它的收敛域就被极点所界定，或延伸至无限远。

（8）如果 x[n] 的z变换 X(z) 是有理的，并且 x[n] 是一个右边序列，那么收敛域就位于z平面内最外层的极点的外边，也就是半径等于 X(z) 极点中最大模值的圆的外边。若 x[n] 是因果序列，即 x[n] 为 n<0 时等于零的右边序列，那么收敛域也包括 $z=\infty$ 。

（9）如果 x[n] 的z变换 X(z) 是有理的，并且 x[n] 是一个左边序列，那么收敛域就位于z平面内最里层的非零极点的里边，也就是半径等于 X(z) 中除去 z=0 的极点中最小模值的圆的里边，并且向内延伸到可能包括 z=0 。若 x[n] 是反因果序列，即 x[n] 为0″>时等于零的左边序列，那么收敛域也包括 z=0 。

2、举例

（1）例1：

（2）例2：

（3）例3：

三、z变换的性质

1、线性性质

2、时移性质

3、z域尺度变换性质

4、时间反转性质

5、时间扩展性质

6、共轭性质

7、卷积性质

8、z域微分性质

9、初值定理

四、常用z变换对列表

五、用z变换分析与表征线性时不变系统

1、概述

（1）根据z变换的卷积性质，一个线性时不变系统输入和输出的z变换是通过乘以系统单位冲激响应的z变换联系起来的，即，其中 X(z) 、 Y(z) 和 H(z) 分别是系统输入、输出和单位冲激响应的z变换。

（2）当 $z=j\omega$ 时， H(z) 就是这个线性时不变系统的频率响应。在z变换的范畴内，一般称 H(z) 为系统函数或传递函数，线性时不变系统的很多性质都与系统函数在z平面的特性密切相关。

2、因果性

（1）一个离散时间线性时不变系统，当且仅当它的系统函数的收敛域在某个圆的外边，且包括无限远点时，该系统就是因果的。

（2）一个具有有理系统函数 H(z) 的线性时不变系统是因果的条件是，当且仅当收敛域位于最外层极点外边某个圆的外边，并且若 H(z) 表示成z的多项式之比，其分子的阶次不高于分母的阶次。

3、稳定性

（1）一个线性时不变系统，当且仅当它的系统函数 H(z) 的收敛域包括单位圆 $\left | z \right |=1$ 时，该系统就是稳定的。

（2）一个具有有理系统函数的因果线性时不变系统，当且仅当 H(z) 的全部极点都位于单位圆内时，即全部极点的模均小于1时，该系统就是稳定的。

4、由线性常系数差分方程表征的线性时不变系统

（1）在第五章中已经介绍利用傅里叶变换来得到一个由线性常系数差分方程表征的频率响应，而无需首先解出单位冲激响应或时域解，采用完全类似的方式，z变换的性质也能用来直接求得一个由线性常系数差分方程所表征系统的系统函数。

（2）一般解法：

六、系统函数的代数属性与方框图表示

1、线性时不变系统互联的系统函数

（1）考虑两个系统的并联，总系统的单位冲激响应是 $h[n]=h_{1}[n]+h_{2}[n]$ ，根据z变换的线性性质，有 $H(z)=H_{1}(z)+H_{2}(z)$ 。

（2）考虑两个系统的级联，总系统的单位冲激响应是 $h[n]=h_{1}[n]*h_{2}[n]$ ，根据z变换的卷积性质，有 $H(z)=H_{1}(z)H_{2}(z)$ 。

（3）下图所示的是两个线性时不变系统的反馈互联，其传递函数为 $H(z)=\frac{H_{1}(z)}{1+H_{1}(z)H_{2}(z)}$ 。

2、由差分方程和有理系统函数描述的因果线性时不变系统的方框图表示

（1）利用相加、乘以一个系数和单位延迟这些基本运算，可以构造一阶甚至高阶差分方程描述的线性时不变系统的方框图，不过这里延迟单元有新的表示形式 $\frac{1}{z}$ （一个延迟单元的系统函数）。

（2）举例：

①例1：

②例2：

③例3：

七、单边z变换

1、定义

（1）在此之前，本章提到的“z变换”全称为“双边z变换”，本节介绍的则是“单边z变换”。

（2）一个离散时间信号 x[n] 的单边z变换定义为 $\chi (z)=\sum_{n=0}^{+\infty }x[n]z^{-n}$ 。

（3）在 n<0 时不同，而在 $n\geq$ 时相同的两个信号，将有不同的双边z变换，而有相同的单边z变换；任何在 n<0 时都为零的信号，其双边z变换和单边z变换相同。

（4）单边z变换的一个主要应用是求解具有非零初始条件的线性常系数差分方程。

2、单边z变换的性质

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信号与系统 第七章（z变换）