调频连续波（FMCW）雷达测距、测速详解

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一、FMCW雷达基本原理简介

二、FMCW雷达测距原理

1.探测距离和距离分辨率

探测目标到雷达的距离为R，雷达接收机接收信号延时为$\tau$，光速为c，在忽略目标速度的情况下，则探测距离R与延时$\tau$，光速c之间有如下关系：
$$R=\frac{\tau c}{2}$$
（延时$\tau$内电磁波行进了2倍的目标距离）
对于线性调频信号而言，信号带宽B与线性调频率S，信号时宽T的关系如下：
$$B=S\ast T$$
对于混频得到中频信号频率f而言，有如下：
$$f=S\ast \tau$$
继续变换，得到目标距离R和中频频率f的关系：
$$R=\frac{fc}{2S}$$
上式得到目标距离的表达式，下面对雷达的距离分辨率进行探究，在雷达距离维进行FFT，又被称为快时间的FFT，即在一个线性调频脉冲时间$T$之内完成。为了更好的理解距离分辨率，从上式可看出，距离$R$与$f$有着对应关系，在距离FFT中，得到峰值正对应频率$f$处，所以距离分辨率$\Delta R$与频率的最小分辨率$\Delta f$相对应，有如下关系：
$$\Delta R=\frac{\Delta fc}{2S}$$
在这里利用FFT的角度来理解f的分辨率，在其他的资料里，强调在一个时宽T的范围内，频率分辨率为1/T，但是并未给出频率分辨率f的推导过程。这里在FFT的角度上进行推导，假设采样频率为$f_s$，采样的点数为$M$，fft的点数为M1，FFT的频率分辨率$\Delta f$计算公式如下：
$$\Delta f=f_s\frac{1}{M1},M=f_s\ast T$$
(在时宽$T$的范围内，采样点为M个，则有： $M=f_s\ast T$)
结合上面两个公式，如果fft点数等于采样点数，即$M=M1$，有如下：
$$\Delta f=\frac{1}{T}$$
所以距离分辨率$\Delta R$有如下的表达式：
$$\Delta R=\frac{\Delta fc}{2S}=\frac{c}{2ST}=\frac{c}{2B}$$
如果fft点数$M1$不等于采样点数$M$，则距离分辨率$\Delta R$为：
$$\Delta R=\frac{\Delta fc}{2S}=\frac{fs\ast c}{2S\ast M1}=\frac{c\ast M}{2B\ast M1}$$

三、FMCW雷达测速原理

1.探测速度和速度分辨率

上节的推导只是不考虑物体速度的特殊情况，对于FMCW雷达而言，测速功能是通过多普勒FFT功能进行实现的。FMCW雷达的测速值，可以通过相位变化量得到，连续两个脉冲之间最大的相位移动为$\pi$，超过相移量$\pi$就会出现测速模糊。
下面对多普勒FFT得到的速度分辨率进行推导，发射的信号为线性调频信号：
$$s(t)=Acos(2\pi (f_{c}t+\frac{S{t}^2}{2})+{\phi }_0)$$
$S$为线性调频斜率，$f_c$为信号的载频，${\phi }_0$为信号的初始相位。上面得到的公式仅是一个脉冲时间$T$内信号的表达式，在发射多个脉冲串的情况下，公式会有所不同。首先，第$n+1$个脉冲时间$t$有如下的表达形式：
$$t=t_s+nT$$
在上式中，$0<t_s<T$，为$n+1$脉冲内进行的时间，$n$为脉冲数，$T$为一个脉冲对应的周期，第$n+1$个发射信号瞬时频率表达式$f_{瞬}$可以表示为：
$$f_{瞬}=f_c+S(t-nT)=f_c+S{t}_s$$
对$f_{瞬}$进行积分，得到$n+1$个发射信号的表达式如下：
$$s(t)=Acos(2\pi (f_{c}t+\frac{S{t}_s^2}{2})+{\phi }_0)，(t=t_s+nT)$$
假设目标以速度$v$运动，接收到的回波信号延时为$\tau$，$\tau$有如下的表达式：
$$\tau =\frac{2(R+vt)}{c}，(\tau <<T)$$
所以回波信号$s_1(t)$有如下的表达式：
$$s_1(t)=Bcos(2\pi (f_c(t-\tau )+\frac{S(t_s-\tau {)}^2}{2})+{\phi }_0))$$
发射信号与回波信号混频之后得到如下表达式：(幅度或许可以改为C)
$$s_{mix}(t)=\frac{AB}{2}cos(2\pi (f_c\tau +S\tau t_s-\frac{S{\tau }^2}{2}))$$
对于上式的混频结果，不难看出，在物体速度为0，或者忽略速度的影响下，$\tau =\frac{2R}{c}$，则中频信号$s_{mix}$对应的频率，即中频为：
$$f=S\tau =S\ast \frac{2R}{c}=\frac{2RS}{c}$$
上式的结果与上一节的推导相吻合，如果考虑速度的影响，即$\tau =\frac{2(R+vt)}{c}$，把$t=t_s+nT$的表达式代入之后，得到如下的混频结果：
$$s_{mix}(t)=\frac{AB}{2}cos(2\pi (\frac{2(R+vt)f_c}{c}+\frac{2(R+vt)S{t}_s}{c}-\frac{2S(R+vt{)}^2}{c^2}))$$
经过一系列的化简之后，最终的表达形式如下所示：
$$s_{mix}(t)=\frac{AB}{2}cos(2\pi (\frac{2f_{c}R}{c}+\frac{2f_{c}v{t}_s}{c}+\frac{2f_{c}vnT}{c}+\frac{2RS{t}_s}{c}+\frac{2vS{t}_s^2}{c}+\frac{2vSnT{t}_s}{c}-\frac{2S(R+v(t_s+nT){)}^2}{c^2}))$$

在上式中，$c^2$此项过大，可以忽略这项。根据混频信号的相位变化，可以得到对应的速度信息。 设${\phi }_1=2\pi (\frac{2f_{c}R}{c})$，继续对上式进行化简，得到：
$$s_{mix}(t)=\frac{AB}{2}cos(2\pi (\frac{2f_{c}v{t}_s}{c}+\frac{2RS{t}_s}{c}+\frac{2vS{t}_s^2}{c}+\frac{2vSnT{t}_s}{c}+\frac{2f_{c}vnT}{c})+{\phi }_1)$$
在进行多普勒FFT时，也就是在慢时间中求的不同脉冲（脉冲对应的$n$值不同）在相同时间$t_s$下相位的变化值。观察上式，可以发现相邻两个脉冲间$n$值差为1，得到相位差值$w$如下结果：
$$w=2\pi (\frac{2vST{t}_s}{c}+\frac{2f_{c}vT}{c})=2\pi (\frac{2Bv{t}_s}{c}+\frac{2f_{c}vT}{c})$$
在上式中，$t_s$值为距离FFT峰值出现的时间，一般为ms级别。因为$f_c$ 通常是几十G量级，而$S=$ $\frac{B}{T}$, $B$可能达到G量级，一般来说， $B<<f_c$，所以相位的变化值可以近似看为：
$$w=\frac{4\pi f_{c}vT}{c}$$
结合上式，得到速度的表达式为：
$$v=\frac{w\ast c}{4\pi f_{c}T}$$
脉冲串的数量为$N$，对于速度FFT而言，假设采样频率为$F_s$,FFT的采样点数，假如为$N1$。可以这么理解，在$N\ast T$的时间内，采样频率为$F_s$，采样点数为$N1$，所以$F_s=\frac{N}{NT}=\frac{1}{T}=PRF$，即在$NT$时间内采了$N1$个点数，频率分辨率$\Delta f=\frac{F_s}{N1}$，$N1$为$FFT$点数，进一步推导得到FFT的最小相位分辨$\Delta w$：
$$\Delta w=2\pi \frac{\Delta f}{F_s}=\frac{2\pi }{N1}$$
速度$v$的分辨率有如下表达式：
$$\Delta v=\frac{\Delta w\ast c}{4\pi f_{c}T}$$
将$\Delta w$表达式带入之后，即可以得到速度$v$的分辨率：
$$\Delta v=\frac{c}{2f_{c}N1\ast T}，当N=N1时，\Delta v=\frac{c}{2f_c{N}_f}$$
上式中，$N_f$为N个脉冲的时间累计和。

四、FMCW雷达二维FFT代码（matlab）

见资源

总结

本文给出了调频连续波雷达（FMCW）雷达测距和测速的原理，并给出了其推导过程，后续会对FMCW处理的全流程进行仿真和原理介绍，敬请期待。