【集合论】集合概念与关系 ( 真子集 | 空集 | 全集 | 幂集 | 集合元素个数 | 求幂集步骤 )

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一、 真子集

真子集 :

描述 : $A,B$ 两个集合 , 如果 $A$ 集合 是 $B$ 集合的子集 , 并且 $A\ne B$ , 则称 $A$ 是 $B$ 的真子集 , $B$ 真包含 $A$ ;

记作 : $A\subset B$

符号化表示 : $A\subset B$ $\iff$ $A\subseteq B\wedge A\ne B$

非真子集 :

描述 : $A$ 集合 不是 $B$ 集合的真子集 ;

记作 : $A\not\subset B$

符号化表示 : $A\not\subset B$ $\iff$ $\exists x(x\in A\wedge x\notin B)\wedge A\ne B$

( 存在元素 $x$ 是集合 $A$ 的元素 , 不是集合 $B$ 的元素 , 并且 $A,B$ 不相等 , 则 $A$ 不是 $B$ 的真子集 )

真包含关系 性质 :

反自反性 : $A\not\subset A$

反对称性 : 如果 $A\subset B$ , 那么 $B\not\subset A$

传递性 : 如果 $A\subset B$ , 并且 $B\subset C$ , 那么 $A\subset C$

二、 空集

空集描述 : 没有任何元素的集合 , 称为空集合 , 简称为 空集 ;

记作 : $\varnothing$

空集示例 : A = { x ∣ x 2 + 1 = 0 ∧ x ∈ R } A = \{ x | x^2 + 1 = 0 \land x \in R \} A={
x∣x2+1=0∧x∈R}

$R$ 是实数集合 , 上述 $x$ 明显无解 , 集合也为空集 ;

空集定理 : 空集是一切集合的子集 ;

空集推论 : 空集是唯一的 ;

三、 全集

全集 : 限定所讨论的集合 , 都是某个集合的子集 , 则称该集合为全集 , 记作 $E$ ;

全集不唯一 : 全集只是相对于讨论问题的范畴 , 不唯一 , 不能讨论范畴之外的情况 ;

全集示例 : 讨论 [0, 1] 区间上的实数性质 , 取全集为 [0, 1] 上的所有实数 ;

( 讨论其它区间的数 , 也可以取其它的区间作为全集 )

四、 幂集

幂集描述 : $A$ 是一个集合 , $A$ 集合的全体子集组成的集合 称为 $A$ 的幂集 ;

记作 : $P(A)$

符号化表述 : P ( A ) = { x ∣ x ⊆ A } P(A) = \{ x | x \subseteq A \} P(A)={
x∣x⊆A}

五、 集合元素个数

集合元素个数 :

$0$ 元集 : $\varnothing$

$1$ 元集 : 含有 $1$ 个元素的集合 , 又称为 单元集 ;

$2$ 元集 : 含有 $2$ 个元素的集合 ;

$⋮$

$n$ 元集 : 含有 $n$ 个元素的集合 ; ( $n\ge 1$ )

有穷集 : $|A|$ 表示集合 $A$ 中的元素个数 , 如果 $A$ 集合中的元素个数是 有限数 时 , 那么称该 $A$ 集合为有穷集 , 或 有限集 ;

幂集个数定理 : 集合 $A$ 中的 元素个数 $|A|=n$ , 则 $A$ 的 幂集个数 $|P(A)|=2^n$ ;

六、 求幂集步骤

求幂集步骤 : 求 集合 $A$ 的幂集 , 需要按照顺序求 $A$ 集合中 由低到高元的所有子集 , 再将这些子集组成集合 ;

低到高元的所有子集 : $0$ 元集 , $1$ 元集 , $2$ 元集 , $\cdots$ , $n$ 元集 ;

集合 A = { a , b , c } A = \{ a, b , c \} A={
a,b,c}

$0$ 元集 : $\varnothing$

$1$ 元集 : { a } \{ a \} {
a} , { b } \{ b \} {
b} , { c } \{ c \} {
c}

$2$ 元集 : { a , b } \{ a, b \} {
a,b} , { a , c } \{ a, c \} {
a,c} , { b , c } \{ b, c \} {
b,c}

$3$ 元集 : { a , b , c } \{ a, b, c \} {
a,b,c}

集合 $A$ 的幂集是 :

P ( A ) = { ∅ , { a } , { b } , { c } , { a , b } , { a , c } , { b , c } , { a , b , c } } P(A) = \{ \varnothing , \{ a \} , \{ b \} , \{ c \} , \{ a, b \} , \{ a, c \} , \{ b, c \} , \{ a, b, c \} \} P(A)={
∅,{
a},{
b},{
c},{
a,b},{
a,c},{
b,c},{
a,b,c}}