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状态转移矩阵计算方法及其离散化转换
1. 何为状态转移矩阵
2. 状态转移矩阵计算举例
从式(1)可以看出，状态转移矩阵 Φ ( t ) = e A t \Phi (t)=e^{At} Φ(t)=eAt虽然具有指数形式，但由于 A A A是矩阵，因而其计算并不是简单地将 A A A中所有元素变为 e e e的指数就行的。相反，其计算需要具有式(1)的形式：
Φ ( t ) = e A t = I + A t + A 2 t 2 2 ! + A 3 t 3 3 ! + ⋯ + A i t i i ! + ⋯ (2) \Phi (t) = e^{At} = I + At + \frac{A^2 t^2} {2!} + \frac{A^3 t^3} {3!} + \cdots + \frac{A^i t^i} {i!} + \cdots \tag{2} Φ(t)=eAt=I+At+2!A2t2+3!A3t3+⋯+i!Aiti+⋯(2)以下列传递函数为例，进行状态转移矩阵的计算。
例： W ( s ) = s + 1 s 2 + 12 s + 32 W(s) = \frac{s+1}{s^2 + 12s + 32} W(s)=s2+12s+32s+1可以写出其对应的状态空间形式： A = [ − 12 − 32 1 0 ] , A = \left[ \begin{matrix} -12 & -32 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right], A=[−121−320], B = [ 1 0 ] , B = \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right], B=[10], C = [ 1 1 ] , C = \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix} \right], C=[11], D = 0 , D = 0, D=0,则
A 2 = [ 112 384 − 12 − 32 ] , A 3 = [ − 960 − 3584 112 384 ] , ⋯ A^2 = \left[ \begin{matrix} 112 & 384 \\ -12 & -32 \end{matrix} \right], A^3 = \left[ \begin{matrix} -960 & -3584 \\ 112 & 384 \end{matrix} \right], \quad \cdots A2=[112−12384−32],A3=[−960112−3584384],⋯代入式(2)有
Φ ( t ) = e A t = I + A t + A 2 t 2 2 ! + A 3 t 3 3 ! + ⋯ + A i t i i ! + ⋯ = [ 1 0 0 1 ] + [ − 12 − 32 1 0 ] t + 1 2 [ 112 384 − 12 − 32 ] t 2 + 1 6 [ − 960 − 3584 112 384 ] t 3 + ⋯ = [ 1 − 12 t + 56 t 2 − 160 t 3 + ⋯ − 32 t + 192 t 2 − 1792 3 t 3 + ⋯ t − 6 t 2 + 56 3 t 3 + ⋯ 1 − 16 t 2 + 64 t 3 + ⋯ ] \begin{aligned} \Phi (t) &= e^{At} = I + At + \frac{A^2 t^2} {2!} + \frac{A^3 t^3} {3!} + \cdots + \frac{A^i t^i} {i!} + \cdots \\ &= \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} -12 & -32 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] t + \frac{1}{2} \left[ \begin{matrix} 112 & 384 \\ -12 & -32 \end{matrix} \right] t^2 + \frac{1}{6} \left[ \begin{matrix} -960 & -3584 \\ 112 & 384 \end{matrix} \right] t^3 + \cdots \\ &= \left[ \begin{matrix} 1-12t + 56t^2 – 160t^3 + \cdots & -32t + 192t^2 – \frac{1792}{3} t^3 + \cdots \\ t – 6t^2 + \frac{56}{3} t^3 + \cdots & 1 – 16t^2 + 64t^3 + \cdots \end{matrix} \right] \end{aligned} Φ(t)=eAt=I+At+2!A2t2+3!A3t3+⋯+i!Aiti+⋯=[1001]+[−121−320]t+21[112−12384−32]t2+61[−960112−3584384]t3+⋯=[1−12t+56t2−160t3+⋯t−6t2+356t3+⋯−32t+192t2−31792t3+⋯1−16t2+64t3+⋯]
3. 离散系统的状态方程
4. 离散系统的状态方程计算举例
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