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数列极限：有界数列
在学习数列极限时，我们知道：收敛数列必定有界。
那么，有界数列是否会收敛呢？答案：不一定。
示例：数列 { ( − 1 ) n } \{(-1)^n\} {
(−1)n} 有界但不收敛。
{ ( − 1 ) n } : − 1 , 1 , − 1 , 1 , ⋯ \{(-1)^{n}\}:-1,1,-1,1,\cdots {
(−1)n}:−1,1,−1,1,⋯
首先，有界数列满足单调条件，一定收敛，即 单调有界数列收敛原理。
单调有界数列收敛定理
定理：单调有界数列必定收敛。
证明：
若数列 { x n } \{x_n\} {
xn}单调增加，且有上界，则根据 确界定理，由数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 中所有项组成的集合 S S S 有上确界，记 β = sup S \beta = \sup S β=supS，则有：
- ∀ n ∈ N + , x n ≤ β \forall n \in \mathbb{N}_{+},x_n \le \beta ∀n∈N+,xn≤β；
- ∀ ϵ > 0 , ∃ x n 0 , x n 0 > β − ϵ \forall \epsilon>0,\exists x_{n_0},x_{n_0}>\beta-\epsilon ∀ϵ>0,∃xn0,xn0>β−ϵ。
结合数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 的单调性，取 N = n 0 N=n_0 N=n0，当 n > N n>N n>N 时，有
β − ϵ < x n 0 < x n ≤ β < β + ϵ \beta – \epsilon<x_{n_0}<x_n\le\beta<\beta+\epsilon β−ϵ<xn0<xn≤β<β+ϵ
即： ∣ x n − β ∣ < ϵ |x_n-\beta|<\epsilon ∣xn−β∣<ϵ， lim n → ∞ x n = β \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}x_n=\beta n→∞limxn=β。
同样地，若数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 单调减小，且有下界，则根据 确界定理，由数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 中所有项组成的集合 S S S 有下确界，记 α = inf S \alpha=\inf S α=infS，则有：
- ∀ n ∈ N + , x n ≥ α \forall n \in \mathbb{N}_{+},x_n \ge \alpha ∀n∈N+,xn≥α；
- ∀ ϵ > 0 , ∃ x n 0 , x n 0 < α + ϵ \forall \epsilon>0,\exists x_{n_0},x_{n_0}<\alpha+\epsilon ∀ϵ>0,∃xn0,xn0<α+ϵ。
结合数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 的单调性，取 N = n 0 N=n_0 N=n0，当 n > N n>N n>N 时，有
α ≤ x n < x n 0 < α + ϵ \alpha \le x_n < x_{n_0}<\alpha+\epsilon α≤xn<xn0<α+ϵ
即： ∣ x n − α ∣ < ϵ |x_n-\alpha|<\epsilon ∣xn−α∣<ϵ， lim n → ∞ x n = α \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}x_n=\alpha n→∞limxn=α。
证毕
另外，从单调有界数列收敛原理中，可得：
- 单调增加且有上界的数列收敛于由该数列所有项组成的集合的上确界；
- 单调减小且有下界的数列收敛于由该数列所有项组成的集合的下确界。
Bolzano – Weierstrass 定理
定理：有界数列必有收敛子列。
证明：
设 { x n } \{x_n\} {
xn} 为一有界数列，则存在 a 1 , b 1 ∈ R a_1,b_1 \in \mathbb{R} a1,b1∈R，使得
a 1 ≤ x n ≤ b n , n = 1 , 2 , 3 , ⋯ a_1 \le x_n \le b_n ,\quad n=1,2,3,\cdots a1≤xn≤bn,n=1,2,3,⋯
因此数列中的所有项均落在闭区间 [ a 1 , b 1 ] [a_1,b_1] [a1,b1] 内。
然后使用 “二分”方法，对闭区间 [ a 1 , b 1 ] [a_1,b_1] [a1,b1] 进行细分，以寻求收敛子列。
将闭区间 [ a 1 , b 1 ] [a_1,b_1] [a1,b1] 等分为两个小区间 [ a 1 , a 1 + b 1 2 ] [a_1,\frac{a_1+b_1}{2}] [a1,2a1+b1]、 [ a 1 + b 1 2 , b 1 ] [\frac{a_1+b_1}{2},b_1] [2a1+b1,b1]，则其中至少有一个区间含有数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 中的无穷多项，将其记作 [ a 2 , b 2 ] [a_2,b_2] [a2,b2]；
同样将闭区间 [ a 2 , b 2 ] [a_2,b_2] [a2,b2] 二等分为两个小区间 [ a 2 , a 2 + b 2 2 ] [a_2,\frac{a_2+b_2}{2}] [a2,2a2+b2]、 [ a 2 + b 2 2 , b 2 ] [\frac{a_2+b_2}{2},b_2] [2a2+b2,b2]，则其中至少有一个区间含有数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 中的无穷多项，将其记作 [ a 3 , b 3 ] [a_3,b_3] [a3,b3]；
继续对闭区间 [ a 3 , b 3 ] [a_3,b_3] [a3,b3] 二等分……
不断重复该过程，于是可以得到一个闭区间套 { [ a n , b n ] } \{[a_n,b_n]\} {
[an,bn]}，其中每个闭区间 [ a n , b n ] [a_n,b_n] [an,bn] 都含有数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 中的无穷多项。
由 闭区间套定理 知，存在惟一的 ξ ∈ ∩ ∞ n = 1 [ a n , b n ] \xi \in\underset{n =1 }{\overset{\infty}{\cap}}[a_n,b_n] ξ∈n=1∩∞[an,bn]，使得
lim n → ∞ a n = lim → ∞ b n = ξ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}a_n = \underset{\rightarrow \infty}{\lim}b_n =\xi n→∞liman=→∞limbn=ξ
下面证明，数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 必定存在子列 { x n k } \{x_{n_k}\} {
xnk} 收敛于 ξ \xi ξ。
在闭区间 [ a 1 , b 1 ] [a_1,b_1] [a1,b1] 中选择数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 中的某一项作为 x n 1 x_{n_1} xn1，
闭区间 [ a 2 , b 2 ] [a_2,b_2] [a2,b2] 含有数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 中的无穷多项，因此可以选择位于 x n 1 x_{n_1} xn1 之后的某一项作为 x n 2 x_{n_2} xn2， n 2 > n 1 n_2>n_1 n2>n1；
闭区间 [ a 3 , b 3 ] [a_3,b_3] [a3,b3] 含有数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 中的无穷多项，因此可以选择位于 x n 2 x_{n_2} xn2 之后的某一项作为 x n 3 x_{n_3} xn3， n 3 > n 2 n_3>n_2 n3>n2；
……
一般的，闭区间 [ a k , b k ] [a_k,b_k] [ak,bk] 含有数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 中的无穷多项，因此可以选择位于 x n k − 1 x_{n_{k-1}} xnk−1 之后的某一项作为 x n k x_{n_{k}} xnk， n k > n k − 1 n_{k}>n_{k-1} nk>nk−1；
闭区间 [ a k + 1 , b k + 1 ] [a_{k+1},b_{k+1}] [ak+1,bk+1] 含有数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 中的无穷多项，因此可以选择位于 x n k x_{n_{k}} xnk 之后的某一项作为 x n k + 1 x_{n_{k+1}} xnk+1， n k + 1 > n k n_{k+1}>n_{k} nk+1>nk；
因此，可以得到数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 的一个子列 { x n k } \{x_{n_k}\} {
xnk}，并且满足条件
a k ≤ x n k ≤ b k , k = 1 , 2 , 3 , ⋯ a_k \le x_{n_k} \le b_k ,\quad k=1,2,3,\cdots ak≤xnk≤bk,k=1,2,3,⋯
由 lim k → ∞ a k = b k k → ∞ = ξ \underset{k \rightarrow \infty}{\lim}a_k = \underset{k \rightarrow \infty}{b_k}=\xi k→∞limak=k→∞bk=ξ，利用 数列极限的夹逼性 有：
lim k → ∞ x n k = ξ \underset{k \rightarrow \infty}{\lim}{x_{n_k}}=\xi k→∞limxnk=ξ
证毕
另外，作为有界数列的对立面，无界数列具有什么样特点？
定理：若数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 无界，则存在子列 { x n k } \{x_{n_k}\} {
xnk}，使得
lim k → ∞ x n k = ∞ 。 \underset{k \rightarrow \infty}{\lim}x_{n_k}=\infty \text{。} k→∞limxnk=∞。
证明：
设数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 无界，则对于任意的 M > 0 M>0 M>0，存在数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 中的无穷多项 x n x_n xn，满足条件
∣ x n ∣ > M 。 |x_n|>M\text{。} ∣xn∣>M。
下面，来构造这样一个数列。
取 M 1 = 1 M_1=1 M1=1，则存在 x n 1 x_{n_1} xn1，使得 ∣ x n 1 ∣ > 1 |x_{n_1}|>1 ∣xn1∣>1；
取 M 2 = 2 M_2=2 M2=2，则存在 x n 2 x_{n_2} xn2，使得 ∣ x n 2 ∣ > 2 |x_{n_2}|>2 ∣xn2∣>2；
……
一般的，取 M k = k M_k=k Mk=k，则存在 x n k x_{n_k} xnk，使得 ∣ x n k ∣ > k |x_{n_k}|>k ∣xnk∣>k；
如此，便得到了数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 的一个子列 x n k x_{n_k} xnk，并且满足条件
∣ x n k ∣ > k , , k = 1 , 2 , 3 ⋯ |x_{n_k}|>k,\quad,k=1,2,3\cdots ∣xnk∣>k,,k=1,2,3⋯
证毕
另外，无界数列必有发散子列（无界数列本身就是发散数列）。
注意：注意无穷大量与发散数列的区别！
（1）若数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 无穷大量，则 { x n } \{x_n\} {
xn} 一定发散；
（2）若数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 发散， { x n } \{x_n\} {
xn} 不一定是无穷大量，如 { ( − 1 ) n } \{(-1)^n\} {
(−1)n}。
参考文献
[1] 陈纪修，于崇华，金路著. 数学分析 上册. 第2版. 北京：高等教育出版社, 2004.06.
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