双勾函数是什么？

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最近发现做啥题都离不开双勾函数，不管是初中还是高中，它都与我们形影不离。尤其是不等式里运用得特别多，因为它的值域特点和增减区间还是比较鲜明。双勾函数虽然在教材中并没有，但是考得特别频繁，今天就来说说什么是双勾函数。

一、双勾函数的定义

双勾函数（对勾函数）是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如 $f(x)=ax+\frac{b}{x}(ab＞0)$ 的函数。最常见的双勾函数是 $f(x)=x+\frac{1}{x}$。不过一定要注意，$a,b$ 必须同号，如果异号就不是双勾函数。

二、双勾函数的性质

1.双勾函数的图象

双勾函数当 $a,b$ 为正数时，大概是这样的：

当然，如果 $a,b$ 都是负数，也可以是这样的：

1.1 渐近线

双勾函数的图象以 $y$ 轴和 $y=ax$ 为渐近线。

1.2 转折点

若 $a>0,b>0$，在第一象限内，转折点为 $(\sqrt{\frac{b}{a}},2\sqrt{ab})$；在第三象限内，转折点为$(-\sqrt{\frac{b}{a}},-2\sqrt{ab})$

若 $a<0,b<0$，在第一象限内，转折点为 $(-\sqrt{\frac{b}{a}},2\sqrt{ab})$；在第三象限内，转折点为$(\sqrt{\frac{b}{a}},-2\sqrt{ab})$

2. 双勾函数的定义域和值域

1. 定义域： { x ∣ x ≠ 0 } \{x |x\ne0\} {
x∣x=0}

2. 值域：$(-\infty ,-\sqrt{ab}]\cup [\sqrt{ab},+\infty )$

求法很简单，大家可以自行推导。

3. 双勾函数的最值

• $a>0,b>0$
  • 当定义域为 $(0,+\infty )$ 时， $f(x)=ax+\frac{b}{x}(a>0,b>0)$ 在 $x=\sqrt{\frac{b}{a}}$ 处取最小值 $2\sqrt{ab}$
  • 当定义域为 $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ 时，函数无最值
  • 当定义域为 $(-\infty ,0)$时，$f(x)=ax+\frac{b}{x}(a>0,b>0)$ 在 $x=-\sqrt{\frac{b}{a}}$处取最大值 $-2\sqrt{ab}$
• $a<0,b<0$
  • 当定义域为 $(0,+\infty )$ 时， $f(x)=ax+\frac{b}{x}(a<0,b<0)$ 在 $x=\sqrt{\frac{b}{a}}$ 处取最大值 $-2\sqrt{ab}$
  • 当定义域为 $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ 时，函数无最值
  • 当定义域为 $(-\infty ,0)$时，$f(x)=ax+\frac{b}{x}(a<0,b<0)$ 在 $x=-\sqrt{\frac{b}{a}}$处取最小值 $2\sqrt{ab}$

双勾函数的最值，和均值不等式有着很紧密的联系。当 $a>0,b>0$ 时，在 $x>0$ 时的最值，也就是双勾函数的极小值，利用均值不等式就可以得到：$ax+\frac{b}{x}\ge 2\sqrt{ax\cdot \frac{b}{x}}=2\sqrt{ab}$。当且仅当 $ax=\frac{b}{x}$ 即 $x=\sqrt{\frac{b}{a}}$ 时取到极小值。
同样地，由于双勾函数是奇函数，所以我们也能得到它的极大值，在 $x=-\sqrt{\frac{b}{a}}$ 处取到。
$a<0,b<0$ 的情况类似，就相当于在 $x>0$，$a,b$ 值不变的基础上关于 $y$ 轴对称了一下，所以用 $-x$ 替换原来的 $x$ 就行了。

3. 奇偶性和单调性

奇偶性： 奇函数
单调增区间：$(-\infty ,-\sqrt{\frac{b}{a}}]$ 和 $[\sqrt{\frac{b}{a}},+\infty )$

单调减区间：$(-\sqrt{\frac{b}{a}},0]$ 和 $[0,\sqrt{\frac{b}{a}})$

后话

其实，双勾函数的图象也是双曲线，当然是可以通过一个平面截圆锥得到的，是不是很惊讶？

参考资料：对勾函数(数学函数) – 百度百科