从矩阵展开逆推矩阵形式简单推导示例

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问题1

$$\mathbf{x}\triangleq [x_1,x_2,\dots ,x_N{]}^{\mathsf{T}}$$

将式(1)表达成${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$的形式。

问题1求解

考虑给定的矩阵展开形式：

$$\sum _{n=1}^N\sum _{m=1}^N|w_n{w}_m|(x_n^2+x_m^2-2x_n{x}_m)$$

我们可以将其分解为三个部分：

1. ( ${\sum }_{n=1}^N{\sum }_{m=1}^N|w_n{w}_m|x_n^2$ )
2. ( ${\sum }_{n=1}^N{\sum }_{m=1}^N|w_n{w}_m|x_m^2$ )
3. ( $-2{\sum }_{n=1}^N{\sum }_{m=1}^N|w_n{w}_m|x_n{x}_m$ )

首先看前两项：

$$\sum _{n=1}^N\sum _{m=1}^N|w_n{w}_m|x_n^2=\sum _{n=1}^N{x}_n^2\sum _{m=1}^N|w_n{w}_m|=\sum _{n=1}^N|w_n|x_n^2\sum _{m=1}^N|w_m|$$

同理，

$$\sum _{n=1}^N\sum _{m=1}^N|w_n{w}_m|x_m^2=\sum _{m=1}^N{x}_m^2\sum _{n=1}^N|w_n{w}_m|=\sum _{m=1}^N|w_m|x_m^2\sum _{n=1}^N|w_n|$$

所以，这两项可以合并为：

$$2\left(\sum _{n=1}^N|w_n|x_n^2\sum _{m=1}^N|w_m|\right)$$

设

$$C=\sum _{m=1}^N|w_m|$$

则前两项合并后可以写成：

$$2C\sum _{n=1}^N|w_n|x_n^2$$

这可以表示为：

$$2C{\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}\text{diag}(|w_1|,|w_2|,\dots ,|w_N|)\mathbf{x}$$

现在看第三项：

$$-2\sum _{n=1}^N\sum _{m=1}^N|w_n{w}_m|x_n{x}_m$$

我们定义：

$$\mathbf{W}=\bar{\mathbf{w}}{\bar{\mathbf{w}}}^{\mathsf{T}}$$

其中，

$$\bar{\mathbf{w}}=[|w_1|,|w_2|,\dots ,|w_N|{]}^{\mathsf{T}}$$

则第三项可以写成：

$$-2{\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}\mathbf{W}\mathbf{x}$$

综上所述，我们将所有项合并起来：

$$2C{\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}\text{diag}(|w_1|,|w_2|,\dots ,|w_N|)\mathbf{x}-2{\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}\mathbf{W}\mathbf{x}$$

所以，矩阵 ($\mathbf{A}$) 可以表示为：

$$\mathbf{A}=2C\text{diag}(|w_1|,|w_2|,\dots ,|w_N|)-2\mathbf{W}$$

这里，($\mathbf{W}=\bar{\mathbf{w}}{\bar{\mathbf{w}}}^{\mathsf{T}}$)， ($\bar{\mathbf{w}}=[|w_1|,|w_2|,\dots ,|w_N|{]}^{\mathsf{T}}$)， ($C={\sum }_{m=1}^N|w_m|$)。

问题2

$$\sum _{n=1}^N\sum _{m=1}^N\left(x_n-x_m\right)\left(x_n^i-x_m^i\right)$$
提取某个$x_i$前相关的系数

问题2求解

???能不能把$\mathbf{x}$中的第$n$个元素前面的系数凑成 ${\sum }_{m=1}^N\left(x_n^i-x_m^i\right)$的形式：

我们从原始表达式开始：

$$\sum _{n=1}^N\sum _{m=1}^N\left(x_n-x_m\right)\left(x_n^i-x_m^i\right)$$

将这个表达式展开：

$$\sum _{n=1}^N\sum _{m=1}^N\left(x_n{x}_n^i-x_n{x}_m^i-x_m{x}_n^i+x_m{x}_m^i\right)$$

接下来分解为四个部分：

1. 第一部分 ( ${\sum }_{n=1}^N{\sum }_{m=1}^N{x}_n{x}_n^i$ ):
   • 由于 ( $x_n$ ) 和 ( $x_n^i$ ) 都与 ( $m$ ) 无关，可以直接简化为：
     $$N\sum _{n=1}^N{x}_n{x}_n^i$$
     
2. 第二部分 ( $-{\sum }_{n=1}^N{\sum }_{m=1}^N{x}_n{x}_m^i$ ):
   • 这部分无法简化，因为 ( $x_n$ ) 和 ( $x_m^i$ ) 分别依赖 ( $n$ ) 和 ( $m$ )：
     $$-\sum _{n=1}^N{x}_n\sum _{m=1}^N{x}_m^i$$
     
3. 第三部分 ( $-{\sum }_{n=1}^N{\sum }_{m=1}^N{x}_m{x}_n^i$ ):
   • 这部分与第二部分对称，结果应该是相同的：
     $$-\sum _{n=1}^N{x}_n^i\sum _{m=1}^N{x}_m$$
     
4. 第四部分 ( ${\sum }_{n=1}^N{\sum }_{m=1}^N{x}_m{x}_m^i$ ):
   • 同样可以简化为：
     $$N\sum _{m=1}^N{x}_m{x}_m^i$$
     

合并所有部分

将这些部分合并：

$$N\sum _{n=1}^N{x}_n{x}_n^i-\sum _{n=1}^N{x}_n\sum _{m=1}^N{x}_m^i-\sum _{n=1}^N{x}_n^i\sum _{m=1}^N{x}_m+N\sum _{m=1}^N{x}_m{x}_m^i$$

提取和 ( $x_n$ ) 相关的系数

我们接下来提取与 ( $x_n$ ) 相关的系数：

• 第一部分 ( $N{x}_n{x}_n^i$ )：
  $$N{x}_n{x}_n^i$$
  
• 第二部分 ( $-{\sum }_{m=1}^N{x}_m^i$ ) 乘以 ( $x_n$ )：
  $$-x_n\sum _{m=1}^N{x}_m^i$$
  
• 第三部分 ( $-{\sum }_{n=1}^N{x}_n^i{\sum }_{m=1}^N{x}_m$ ) 中不涉及 ( $x_n$ )，因此与 ( $x_n$ ) 无关。
• 第四部分 ( $N{\sum }_{m=1}^N{x}_m{x}_m^i$ ) 也不涉及 ( $x_n$ )，因此与 ( $x_n$ ) 无关。

所以，最终与 ( $x_n$ ) 相关的项的系数是：

$$N{x}_n^i-\sum _{m=1}^N{x}_m^i$$

这个表达式正确地捕捉了与第 ( $n$ ) 个元素 ( $x_n$ ) 相关的部分。再次感谢你的指正，最终与 ( $x_n$ ) 相关的系数确实应该是：

$$N{x}_n^i-\sum _{m=1}^N{x}_m^i$$

得到与 $x_n$ 相关的系数$\mathbf{b}[n]$，即可重新将问题表示为${\mathbf{b}}^{\text{T}}\mathbf{x}$