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Wallis公式
n ≥ 2 n\geq2 n≥2时，有
I n = ∫ 0 π 2 s i n n x d x ∫ 0 π 2 c o s n x d x = { n − 1 n ⋅ n − 3 n − 2 ⋯ 3 4 ⋅ 1 2 ⋅ π 2 , n 为偶数 n − 1 n ⋅ n − 3 n − 2 ⋯ 4 5 ⋅ 2 3 ⋅ 1 , n 为奇数 = { ( n − 1 ) ! ! ( n ) ! ! ⋅ π 2 , n 为偶数 ( n − 1 ) ! ! ( n ) ! ! , n 为奇数 I_n=\int_0^\frac{\pi}{2}sin^nxdx\int_0^\frac{\pi}{2}cos^nxdx= \left\{\begin{matrix} \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2},n为偶数 \\ \\ \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\cdot1,n为奇数 \end{matrix}\right. =\left\{\begin{matrix} \frac{(n-1)!!}{(n)!!}\cdot\frac{\pi}{2},n为偶数 \\ \\ \frac{(n-1)!!}{(n)!!},n为奇数 \end{matrix}\right. In=∫02πsinnxdx∫02πcosnxdx=⎩
⎨
⎧nn−1⋅n−2n−3⋯43⋅21⋅2π,n为偶数nn−1⋅n−2n−3⋯54⋅32⋅1,n为奇数=⎩
⎨
⎧(n)!!(n−1)!!⋅2π,n为偶数(n)!!(n−1)!!,n为奇数
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