《误差理论》——随机误差

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随机误差

在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差

1、随机误差产生的原因

• 测量装置方面的因素
• 环境方面的因素
• 人员方面的因素

2、随机误差的特征

若测量中不包含系统误差和粗大误差，则测量列中的随机误差一般具有以下特征

• 对称性：绝对值星等的正误差和负误差出现的次数相等
• 单峰型：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多（误区：单峰性$\ne$正态分布）
• 有界性：在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定的界限（正态分布则会，所以也间接验证了“单峰性$\ne$正态分布”）
• 抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差的算数平均值趋于0

3、多数随机误差服从正态分布

设被测量真值位$L_0$，一系列测得值位$l_i$，则测量列中的随机误差${\delta }_i$为
$${\delta }_i=l_i-L_0,i=1,2,\dots ,n$$
正态分布的分布密度$f(\delta )$与分布函数$F(\delta )$为
$$f(\delta )=\frac{1}{\delta \sqrt{2\pi }}{e}^{\frac{-{\delta }^2}{2{\sigma }^2}}$$$$F(\delta )=\frac{1}{\delta \sqrt{2\pi }}{\int }_{\delta }^{-\infty }{e}^{\frac{-{\delta }^2}{2{\sigma }^2}}d\delta$$其中$\sigma$为标准差，$e$为自然对数的底。

故随机误差的数学期望为
$$E={\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta f(\delta )d\delta =0$$方差为$${\sigma }^2={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\delta }^{2}f(\delta )d\delta$$平均误差为$$\theta ={\int }_{-\infty }^{+\infty }|\delta |f(\delta )d\delta =0.7979\sigma \approx \frac{4}{5}\sigma$$

4、算数平均值

5、算术平均值的计算校核

用残余误差代数和校核算算术平均值及残余误差，其规则为

残余误差代数和应符合

• 当${\sum }_{i=1}^n{l}_i=n\bar{x}$，求得$\bar{x}$为非凑整的准确数时，${\sum }_{i=1}^n{v}_i=0$
• 当${\int }_{i=1}^n{l}_i>n\bar{x}$，求得$\bar{x}$为非凑整的非准确数时，${\sum }_{i=1}^n{v}_i>0$，其大小为求$\bar{x}$时的余数
• 当${\sum }_{i=1}^n{l}_i<n\bar{x}$，求得$\bar{x}$为非凑整的非准确数时，${\sum }_{i=1}^n{v}_i<0$，其大小为求$\bar{x}$时的亏数

残余误差代数和绝对值应符合

• 当n为偶数时，${\sum }_{i=1}^n{v}_i\le \frac{n}{2}A$
• 当n为奇数时，${\sum }_{i=1}^n{v}_i\le (\frac{n}{2}-0.5)A$

其中A为实际求得的算数平均值$\bar{x}$末位数的一个单位，例：
$$若\bar{x}=0.607，则A=0.001$$

6、测量列中单次测量的标准差

$$\sigma =\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n{v}_i^2}{n-1}}（贝塞尔公式）$$评价单次测量不可靠性的或然误差$\rho$和平均误差$\theta$
$$\rho \approx \frac{2}{3}\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n{v}_i^2}{n-1}}\theta \approx \frac{4}{5}\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n{v}_i^2}{n-1}}$$

7、测量列中算术平均值的标准差（多次测量）

$${\sigma }_{\bar{x}}^2=\frac{{\sigma }^2}{n}⟹{\sigma }_{\bar{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$
在n次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量的$\frac{1}{\sqrt{n}}$，所以测量次数n越大，精度越高，同理$$或然误差R=\rho \approx \frac{2}{3}\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n{v}_i^2}{n(n-1)}}$$$$平均误差R=\theta \approx \frac{2}{3}\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n{v}_i^2}{n(n-1)}}$$

8、标准差的其他计算方法

除贝塞尔公式外，还有别捷尔斯法、极差法及最大误差法

（1）别捷尔斯法

$$\sigma =1.253\times \frac{{\sum }_{i=1}^n|v_i|}{\sqrt{n(n-1)}}$$$${\sigma }_{\bar{x}}=1.253\times \frac{{\sum }_{i=1}^n|v_i|}{n\sqrt{n-1}}$$其推导过程为
$$\sigma =\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n{v}_i^2}{n-1}}=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n{\delta }_i^2}{n}}$$可得：$$\sum _{i=1}^n{\delta }_i^2=\frac{n}{n-1}\sum _{i=1}^n{v}_i^2$$上述可近似为${\sum }_{i=1}^n|{\delta }_i|\approx {\sum }_{i=1}^n|v_i|\sqrt{\frac{n}{n-1}}$，则平均误差为$$\theta =\frac{{\sum }_{i=1}^n|{\delta }_i|}{n}=\frac{{\sum }_{i=1}^n|v_i|}{\sqrt{n(n-1)}}$$$$\sigma =\frac{\theta }{0.7979}=1.253\theta$$故$$\sigma =1.253\times \frac{{\sum }_{i=1}^n|v_i|}{\sqrt{n(n-1)}}$$$${\sigma }_{\bar{x}}=1.253\times \frac{{\sum }_{i=1}^n|v_i|}{n\sqrt{n-1}}$$

（2）极差法（测量结果徐满足正态分布）——n<10可采用

$$\sigma =\frac{w_n}{d_n},w_n=x_{max}-x_{min}$$其中，$d_n$通过查表获得

（3）最大误差法

$$\sigma =\frac{|{\delta }_i{|}_{}max}{K_n}$$其中$1/K_n$查表可得，${\delta }_i$为随机误差。但由于${\delta }_i$未知，故用残余误差$v_i$代替$$\sigma =\frac{|{\delta }_i{|}_{}max}{K_n^{{}^{\prime }}}$$其中$1/K_n^{{}^{\prime }}$查表可得

9、测量的极限误差

测量的极限误差是极端误差

• 单次测量的极限误差$${\delta }_{limx}=\pm t\sigma$$
• 算术平均值的极限误差$${\delta }_{lim\bar{x}}=\pm t{\sigma }_{\bar{x}},{\sigma }_{\bar{x}}=\sigma /\sqrt{n}$$

10、不等精度测量

（1）权的确定方法

$$P_1:P_2:\dots :P_m=\frac{1}{{\sigma }_{\overline{x_1}}^2}:\frac{1}{{\sigma }_{\overline{x_2}}^2}:\dots :\frac{1}{{\sigma }_{\overline{x_m}}^2}$$

（2）加权算术平均值

若对同一被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量结果$\overline{x_1}$,$\overline{x_2}$,…,$\overline{x_m}$，设对应的测量次数为$n_1,n_2,\dots ,n_m$，即$$\overline{x_i}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{l}_i^2}{n_i}$$则$$\bar{x}=\frac{{\sum }_{i=1}^m{P}_i\overline{x_i}}{{\sum }_{i=1}^m{P}_i}$$为简化计算，加权算术平均值可表示为$$\bar{x}=x_0+\frac{{\sum }_{i=1}^m{P}_i(\overline{x_i}-x_0)}{{\sum }_{i=1}^m{P}_i}$$其中$x_0$为接近${\bar{x}}_i$\的任选参考值

（3）加权算术平均值的标准差

$$\sigma =\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^m{P}_i{v}_{x_i}^2}{m-1}}$$$${\sigma }_{\bar{x}}=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^m{P}_i{v}_{x_i}^2}{(m-1){\sum }_{i=1}^m{P}_i}}$$