高等数学基础知识总结（1）

分割区间：
将区间 [a,b]分割成 n 个小区间，每个小区间的长度为 Δxi，其中 $\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ ，且 $x_{0} = a,x_{n}=b$ 。
取样本点：
在每个小区间 $\left [ x_{i-1},x_{i} \right ]$ 内取一个样本点 $\xi _{i}$ 。
构造黎曼和：
构造黎曼和 $\sum_{i=1}^{n}f(\xi _{i}\Delta x_{i})$ ，表示函数 f(x) 在区间 [a,b]上的近似累积效应或面积。
取极限：
当分割的区间数 n 趋向于无穷大，且每个小区间的长度 Δxi趋向于零时，黎曼和的极限即为定积分： $\int_{a}^{b}f(x)dx$ =

1.1.2 定积分的几何意义

定积分 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 的几何意义是函数 f(x) 在区间 [a,b]上的曲线下面积。具体来说：

如果 f(x)≥0，则定积分表示曲线下方的面积。
如果 f(x)≤0，则定积分表示曲线上方的面积的负值。

1.2 定积分一般性质

线性性质：
$\int_{a}^{b}[cf(x)+dg(x)]dx=c\int_{a}^{b}f(x)dx+d\int_{a}^{b}g(x)dx$ ，其中c和d是常数。
区间可加性：
$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$ ，其中 $a\leq c\leq b$ 。
积分上下限交换：
$\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$
定积分中值定理：
设函数 $f(x)\in[a,b]$ ，则存在 $\xi \in[a,b]$ ，使 $\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi)(b-a)$

积分中值定理的证明：

小提示：

1.3 定积分的基本定理

定理1：设函数 $f(x)\in[a,b]$ ， $\phi (x)=\int_{a}^{b}f(t)dt$ ,则 $\frac{d}{dx}\phi (x)=f(x)$
定理2：牛顿-莱布尼茨公式
$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(a)-F(b)$ ，其中，F(x)是 f(x)的一个原函数，即 F′(x)=f(x)。

1.4 定积分换元法

选择合适的变量替换：
选择一个合适的变量替换 t=g(x)，使得积分变得更简单，并求反函数： $x=g^{-1}(t)=h(t)$
求导数：
对 x 的导数
替换积分变量：
将原积分中的 x 替换为 t，并将 dx 替换为
确定新的积分上下限：
将原积分的上下限 a 和 b 替换为新的上下限 t 的值。即 t 的下限为 t1，上限为 t2。
求解新积分：求解新的定积分 $\int_{t_{1}}^{t_{2}}f(h(t)) h'(t)dt$

例：求 $\int _{0}^{4}\dfrac{x+2}{\sqrt{2x+1}}dx$

步骤1：令 $t=\sqrt{2x+1}$ ,则 $x=\dfrac{t^{2}-1}{2}$

步骤2：对x求导数 dx=tdt

上限： $t_{2}=\sqrt{2\times 4 + 1}=3$

二、多元函数

2.1 二元极限

2.1.1二元极限的定义

设函数 f(x,y) 在点 (a,b) 的某个去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数 ϵ，总存在正数 δ，使得当 $0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta$ 时，总有：∣f(x,y)−L∣<ϵ 则称 L 为函数 f(x,y)在点 (a,b)处的极限，记作： $\lim_{(x,y)\rightarrow(a,b)f(x,y)}=L$

2.1.2二元极限的几何意义

当点 (x,y)从任意方式趋近于点 (a,b) 时，函数 f(x,y) 的值趋近于 L。换句话说，函数图像在二维平面的点 (a,b)附近趋近于一个三维立体平面上的点 (a,b,L)。可将(a,b)想象为(a,b,L)投影在二维平面的点。

如果 (x,y)从不同方式趋近于点 (a,b)，函数 f(x,y) 的值不相等，则表示 f(x,y) 不存在。

例子： $f(x,y)=\dfrac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}$ ，在点 (0,0)处的极限

解：

因此： $\lim_{x\to 0}f(x,0)=0$

因此： $\lim_{y\to 0}f(0,y)=0$

因此: $\lim _{x \to 0 }f(x,kx)=\lim_{x \to 0}\frac{kx}{1+k^{2}}=0$

4. 沿抛物线 y=x^2 趋近：
当 y=x^2 时， $f(x,x^2)=\dfrac{x^2\cdot x^2}{x^2+x^4}=\dfrac{x^2}{1+x^2}$ 。

因此： $\lim_{x \to 0}f(x,x2)=\lim_{x \to 0}\frac{x^2}{1+x^2}=0$
由于函数在点 (0,0)的任意方向上的极限都为 0，

因此： $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0$

2.2 偏导数

‌偏导数是‌多元函数求导的一种形式，表示在多个自变量中，当其中一个自变量改变而其他自变量保持不变时函数值的变化率。

这实质上是将其他自变量视为常数，然后按照单变量函数求导的方法进行运算。‌

2.2.1 偏导数的定义

‌2.2.2 偏导数的计算方法‌

对于二元函数z=f(x,y)，求z对x的偏导数时，将y看作常量，对x求导；

求z对y的偏导数时，将x看作常量，对y求导。

例子：

求的偏导数

解：

1.对x求偏导数： $\dfrac{\partial z}{\partial x}=2x+3y$
2.对y求偏导数： $\dfrac{\partial z}{\partial y}=3x+2y$

2.3 全微分

2.3.1 全微分的定义

如果函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全增量 $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$
可以表示为 $\Delta z=A\Delta x+B \Delta y+o(\rho )$ ，其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x, y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)²+(Δy)²])，此时称函数z=f(x, y)在点(x, y)处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x, y)在点
(x, y)处的全微分，记为dz即dz=AΔx +BΔy。

2.3.2 可微的必要条件条件

若z=f(x,y)在(x,y)点处可微，则偏导数 $f_{x}'(x,y)$ 与 $f_{y}'(x,y)$ 存在，并且 $dz=f_{x}'(x,y) \Delta x+f_{y}'(x,y)\Delta y$ 或 $dz=f_{x}'(x,y)dx + f_{y}'(x,y)dx$

2.3.3 可微的充分条件

z=f(x,y)在(x,y)的某个邻域内有连续的偏导数 $f_{x}'(x,y)$ 和 $f_{y}'(x,y)$
则在(x,y)处可微， $dz = f_{x}'(x,y)\Delta x+f_{y}'(x,y)\Delta y$ 或 $dz=f_{x}'(x,y)dx+f_{y}'(x,y)dx$
例：求 $f(x,y)=e^{xy}$ 在(1,2)处的全微分

解：

2.3.4 近似计算

z=f(x, y)在点(x, y)处的

2.4 梯度

梯度是一个向量，表示多元函数在某一点处的最大变化率和变化方向。

2.4.1 梯度定义

设 f(x1,x2,…,xn)是一个定义在 Rn(n维欧几里得空间) 上的多元函数，函数 f在n维向量点 a=(a1,a2,…,an)处的梯度定义为： $\bigtriangledown f(a)=(\frac{\partial f}{\partial x_{1})}(a),\frac{\partial f}{\partial x_{2})}(a),...,\frac{\partial f}{\partial x_{n})}(a))$
其中， $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)$ 是函数 f 在点 a 处对第 i 个自变量的偏导数。

2.4.2 梯度的性质

沿梯度方向是是函数 f在点 a 处变化率增加最大的方向；
沿梯度反方向是是函数 f在点 a 处变化率减小最大的方向；
沿梯度垂直方向函数 f在点 a 处变化率为0。

2.4.3 梯度下降

梯度下降是一种优化算法，用于寻找多元函数的最小值。其基本思想是沿着函数的负梯度方向逐步更新参数，以减少函数值。

算法步骤

1. 初始化：选择一个初始点 x0。

3. 终止条件：当梯度的模足够小或达到预设的迭代次数时，停止迭代。通常，终止条件可以是以下几种：

梯度的模足够小：
当梯度的模（或范数）小于某个阈值时，停止迭代。

说明：梯度的范数表示梯度向量的大小，即梯度向量的长度。

达到预设的迭代次数：当迭代次数达到预设的最大迭代次数时，停止迭代。
函数值变化足够小：
当函数值的变化 $\left | f(x_{k+1}-f(x_k)) \right |$ 小于某个阈值时，停止迭代。

学习率

学习率 η是一个重要的超参数，控制着每次更新的步幅。选择合适的学习率对于梯度下降算法的性能至关重要：

学习率过大：如果步幅过大，算法可能会“跳过”最优解，导致在最优解附近来回震荡。
学习率过小：可能导致算法收敛速度过慢。

例:

一个二元函数，使用梯度下降法寻找其最小值。

解：

1. 初始化：选择初始点。

3. 选择学习率：设 η=0.1。

5. 继续迭代：

继续迭代，直到满足终止条件。

2.5 二重积分

二重积分是多元微积分中的一个重要概念，用于计算二维区域上的函数积分。它通常用于计算平面区域上的面积、质量、重心等问题。二重积分的基本思想是将一个二维区域分割成无数个小区域，然后在每个小区域上计算函数值的积分。

2.5.1 二重积分的定义

设 f(x,y)f(x,y)是定义在平面区域 D 上的函数，二重积分记作： $\iint_{D}f(x,y)dA$ ,其中 dA表示面积元素。

2.5.2 二重积分的几何意义

如果 f(x,y)是非负函数，二重积分 $\iint_{D}f(x,y)dA$ 表示以 D 为底、以 f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。

2.5.3 二重积分的计算步骤

直角坐标系

极坐标系

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