数学原理（The Principles of Mathmatics）

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参考

https://archive.org/details/principlesofmath005807mbp

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《数学原理》（Principia Mathematica）是由阿尔弗雷德·诺思·怀特海和伯特兰·罗素合著的一部数学与逻辑学著作。它分三卷出版，分别于1910年、1912年和1913年出版。这部作品的主要目的是为了奠定数学的基础，展示所有数学真理都可以通过形式逻辑系统地导出。

这本书的主要贡献包括：

形式逻辑的系统化：罗素和怀特海致力于将数学置于逻辑的基础上，使用符号逻辑来定义和证明数学命题。 类型论：为了解决逻辑悖论（如罗素悖论），他们提出了类型论，通过引入不同的类型来限制集合的形成。 基础工作：书中提供了对数、序列、函数等基本概念的形式化定义，展示了如何从公理系统推导出数学命题。 

尽管《数学原理》非常重要，但它也存在一些局限性：

复杂性：书中的证明和逻辑推导非常复杂，阅读和理解需要高度的专业知识。 不完备性：库尔特·哥德尔在1931年证明了不完备定理，指出任何足够复杂的形式系统（如《数学原理》中所描述的系统）都无法同时满足完备性和自洽性。这表明，不能通过有限的公理和规则系统完全描述所有数学真理。 

总体而言，《数学原理》在数学和逻辑的发展中起到了开创性的作用，是研究数学基础的经典之作。你对这本书有什么具体问题或兴趣点吗？

感悟

感觉作者就是一个话痨。但是确实是把问题、理论讲的非常的清楚。其实教材就是应该这样写，自问自答的方式，有时候非常吸引人。分析到位。但是本人对数学知识的掌握有限，如果有不对的地方，希望大家指正。

第二版（Bertrand Russell）

第二版介绍

第一版“数学原理”的大部分是在1900年完成，在1903年出版。在接下来的几年里，书中所涉及的课题被广泛的讨论。同时数理逻辑技术已经有了很大的改善。虽然新的问题还在不断的出现，但是一些老的问题已经被解决。还有些问题仍在讨论当中，不过这些问题已经由全新的形式展现。在此时，已经没有必要修改那些书中所涉及的不再能够表达我现在观点的部分。书的关注点已经成为了历史，同时也说明了所研究课题发展的特定阶段。所以之前我没有做任何改动，不过在这一版介绍中，我将努力说出：一方面我是拥护书中所表达的观点，另一方面，有些后续的研究对于我而言是错误的。

后面几页所提到的基础理论：数学和逻辑，是完全等同的。我还没有看到需要改这些基础理论的理由。这个基础理论之所以不太流行，是因为逻辑传统上和哲学和亚里士多德有联系，所以数学家们认为逻辑不是他们的事情；同时那些自认为是逻辑学者，也憎恶被要求掌握高难度的数学技术。如果他们不能找到更加严肃的理由应对质疑，这种状况不会产生持久的影响。宽泛的说这些理由可以分为相对的两类：一，数理逻辑中有确定的不能解决难题，但是普遍认为要比单独从数学考虑要简单一些；二，如果接受数学的逻辑基础，那么他将可以（或者有趋势）证明更多的工作，比如乔治·康托尔（Georg Cantor）的工作，此人被很多数学家所质疑，由于那些自相矛盾的逻辑问题。但是这两个相反的路线却被形式主义者， 希尔伯特为首（Hilbert）和直观主义者，布劳沃 为首（Brouwer）所批评。

形式学家还是没有找到新形式来解释数学，我也毋庸提起这些老的形式。像希尔伯特展示的那样：例如，在数字范围里，从来没有关于整数的定义，但是却断定他们就是公理，然后来演绎一般算数命题。也就是说我们从来不给 0，1，2，…这些符号任何意义，并且还从公理上认为它们有一定的枚举属性。所以这些符号被认为是变量。当给出0，后续的符号就被定义了，然而0这个符号只不过是被赋予了某些特性而已。相应的0，1，2，…这些符号不能明确表示一个序列，除非一直延续下去。形式学家忘记了我们需要数字，并不只是用来求和，还要用来计数。像命题“有12个基督使徒”或者“伦敦有6,000,000个居民”，在他们的系统里就不能解释。符号0可以用来表示任何限定的整数，显然可以将希尔伯特的任何命题推翻；同时每一个数字符号将变成无穷的模糊。形式主义者就像钟表制造商，太投入于如何让表更好看，以至于忘了表的实际功能是展示时间，所以也就不愿意在这方面花费工作。

形式主义者还面临另外一个难题，就是关于“存在”。希尔伯特认为，如果一些原理没有导致自相矛盾，那么必定存在一组对象满足这些原理。相应的，为了通过举例来建立“存在”理论，他投身于那些证明他的理论的自洽性方法。对于他来说，“存在”就像一般理解的那样，不需要抽象的概念，而且应该用“不矛盾”这一明确概念替换。又一次，他忘记了算数有实践应用。对于不矛盾的定理系统可以没有限制的被发明。我们之所以兴致盎然的致力于可以支撑普通算数的定理，原因其实在算数之外，和应用于实践的数字有很大关系。应用本身并不形成任何逻辑或者算数的内容；但是如果一个理论，可以说明其（应用）的先验性，也就意味着这个理论不会错误。数字的逻辑定义，可以让其（数字逻辑）更容易被理解与现实的联系。但是形式理论不能实现这个容易理解的目标。

先由布劳沃，后被维尔（Weyl）展示的直觉理论是一个更严肃的事情。有一个哲学概念和这个理论相关。但是这里我们将忽略这个哲学概念（译者：不想说，就不要提，这样容易吊胃口）。我们只关心，它在逻辑及数学上的作用、意义。本质点是：在判断是非的方法出现之前，我们拒绝判断一条命题的是与非。布劳沃拒绝排除中点定律(事物非黑即白，没有中间色)，因为这个方法根本就不存在（是作者认为不存在还是布劳沃认为不存在）。这就会破坏，比如：实数个数比有理数更多的证明；又比如，实数序列，每一个级数都有一个极限（译者没理解：and that, in the series of real numbers, every progression has a limit）。结果导致，几个世纪以来，大家都认为完美建立的大部分分析，都值得怀疑，这让人非常失望。

可以从Jorgensen的《形式逻辑定理、Treatise of Formal Logic》(pp 57-200)这本书里，找到精彩，全面的问题讨论：数学与逻辑是否是一件事物？读者可以在书中找到对针对该论题引证的冷静检验，书中得出的结论大致上与我的相同，即尽管近年来已经存在相当新的理由来拒绝精简数学以将其转成逻辑学，但是这些理由都还没有确切的定论。

这就引出了作者对数学的定义，也就是“原理”principle的来历，这本书的出现。（也就是说作者关注这个话题很长时间，由于实在看不下去这种争论，所以作者开始将自己的理论写出来）。在这个定义中，存在各种变化是必要的。 首先，“p 蕴含 q”的形式是数学命题的一种逻辑形式，而且只是数学可采用的众多逻辑形式中的一个。原来考虑到几何，开始注重的是这种形式。很明显，纯数学必须包含经典欧式系统与非欧式系统，而且两者是不矛盾的（两者是一致的，同步的。）。而且我们只能断言，已知定理隐式的表明命题的正确性。而不能说明定理正确，就代表命题一定正确（这个说的有点不太清楚）。这个例子指引我将重点放到了“蕴含”，但是这个隐式的蕴含的过程只是众多表达式中的一个，而且这个蕴含关系不比其他的表达式更重要。接下来：当说“p和q都是命题，包含一个或者多个变量”时，其实更准确的方法是：p和q是前置命题函数。（就是代表p和q是关于一个或者多个变量的函数）当然很抱歉，这个“前置命题函数”这个概念本身，可能大家（逻辑学家和数学家）都还不熟悉。（其实这里蕴含着作者对应新的概念的创新性）