通俗易懂归纳间断点（含例子）

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第一类间断点

第一类间断点又称为可去间断点和跳跃间断点。这类间断点的特点是左右极限都存在，但可能不相等或与函数值不一致。

1. 可去间断点

定义：在某一点 ( x = c )，函数 ( f(x) ) 的左极限和右极限都存在且相等，但不等于函数在该点的值（如果函数在该点有定义）。
记忆方法：左右极限相同，但与函数值不同，可以通过重新定义函数在该点的值使其连续。
例题：
考虑函数
$\frac{x^2 – 1}{x – 1}$
在 ( x = 1 ) 处的情况。
- 计算左极限：
  $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} (x+1) = 2$
- 计算右极限：
  $lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} (x+1) = 2$
- 函数在 ( x = 1 ) 处的值：( f(1) ) 不存在（因为分母为零）
- 结论：左右极限存在且相等，但函数在 ( x = 1 ) 处没有定义，因此 ( x = 1 ) 是一个可去间断点。

2. 跳跃间断点

定义：在某一点 ( x = c )，函数 ( f(x) ) 的左极限和右极限都存在但不相等。
记忆方法：左右极限存在但不相等，函数在该点有一个“跳跃”。
例题：
考虑函数
$\begin{cases} x + 1 & \text{if } x < 1 \\ x – 1 & \text{if } x \geq 1 \end{cases}$
在 ( x = 1 ) 处的情况。
- 计算左极限：
  $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x + 1) = 2$
- 计算右极限：
  $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x – 1) = 0$
- 函数在 ( x = 1 ) 处的值：( f(1) = 0 )
- 结论：左右极限存在但不相等，因此 ( x = 1 ) 是一个跳跃间断点。

第二类间断点

第二类间断点的特点是至少有一个单侧极限不存在（即为无穷大或振荡）。

1. 无穷间断点

定义：在某一点 ( x = c )，函数 ( f(x) ) 的左极限或右极限为无穷大。
记忆方法：函数在该点趋向于无穷大，图形上表现为垂直渐近线。
例题：
考虑函数
$\frac{1}{x}$
在 ( x = 0 ) 处的情况。
- 计算左极限：
  $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$
- 计算右极限：
  $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$
- 结论：左右极限都不存在（为无穷大），因此 ( x = 0 ) 是一个无穷间断点。

2. 振荡间断点

定义：在某一点 ( x = c )，函数 ( f(x) ) 的左极限或右极限不存在，且函数值在该点附近振荡。
记忆方法：函数在该点附近不断上下波动，没有趋于某个确定的值。
例题：
考虑函数
$\sin\left(\frac{1}{x}\right) 在 x = 0$
处的情况。
- 计算左极限：
  $\lim_{x \to 0^-} \sin\left(\frac{1}{x}\right)$
  不存在，因为函数值在 ([-1, 1]) 之间振荡。
- 计算右极限：
  $\lim_{x \to 0^+} \sin\left(\frac{1}{x}\right)$
  也不存在，因为函数值在 ([-1, 1]) 之间振荡。
- 结论：左右极限都不存在且函数值振荡，因此 ( x = 0 ) 是一个振荡间断点。

总结

第一类间断点：
- 可去间断点：左右极限存在且相等，但与函数值不同。
- 跳跃间断点：左右极限存在但不相等。
第二类间断点：
- 无穷间断点：左右极限至少有一个为无穷大。
- 振荡间断点：左右极限至少有一个不存在且函数值振荡。

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