Sa函数 与 sinc函数

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【 1. Sa函数】

$$Sa(x)=\frac{\sin (x)}{x}$$

• 也称为 抽样函数 。
• 傅里叶变换
  $$\pi [u(w+1)-u(w-1)]$$
  
• 积分性质
  ${\int }_0^{\infty }Sa\left(t\right)dt=\frac{\pi }{2}$，${\int }_{-\infty }^{+\infty }Sa\left(t\right)dt=\pi$
  
• 是一个 偶函数 。

【 2. sinc函数 】

$$sinc(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}$$

• 也称为 辛格函数 。
• 傅里叶变换
  $$u(\frac{w+1}{\pi })-u(\frac{w-1}{\pi })$$
  
  
  

【 3. 两者的关系 】

$$sinc(x)=Sa(\pi x)$$

【 4. 傅里叶变换分析 】

4.1 矩形窗的傅里叶变换

$$g_{\tau }(t)=rect(t)=\{\begin{array}{ll}1,& \mid t\mid <\frac{\tau }{2}\\ 0,& \mid t\mid >\frac{\tau }{2}\end{array}$$
$$F(\text{j}\omega )={\int }_{-\tau /2}^{\tau /2}{\mathrm{e}}^{-j\omega t}\mathrm{d}t=\frac{{\mathrm{e}}^{-j\omega \frac{\tau }{2}}-{\mathrm{e}}^{j\omega \frac{\tau }{2}}}{-j\omega }=\frac{\sin (\frac{\omega \tau }{2})}{\frac{w}{2}}=\tau Sa(\frac{\omega \tau }{2})$$

4.2 Sa 函数的傅里叶变换

$$Sa(t)=\frac{sint}{t}$$
$$F(\text{j}\omega )=\pi [u(w+1)-u(w-1)]=\{\begin{array}{ll}\pi & \left|\omega \right|<1\\ 0& \left|\omega \right|>1\end{array}$$

4.3 Sinc 函数的傅里叶变换

$$sinc(t)=\frac{\sin (\pi t)}{\pi t}$$
$$F(\text{j}\omega )=u(\frac{w+1}{\pi })-u(\frac{w-1}{\pi })=\{\begin{array}{ll}1& \left|\omega \right|<1\\ 0& \left|\omega \right|>1\end{array}$$

4.4 Bsinc(Bt) 的傅里叶变换

• 傅里叶变换的尺度变换性质：$f(at)\rightleftharpoons \frac{1}{|a|}F(j\frac{w}{a})$
  $$Bsinc(Bt)=B\frac{\sin (\pi Bt)}{\pi Bt}=\frac{\sin (\pi Bt)}{\pi t}$$
  $$F(jw)=\mathrm{rect}\left(\frac{f}{B}\right)=\{\begin{array}{ll}1& \left|f\right|<\frac{B}{2}\\ 0& \left|f\right|>\frac{B}{2}\end{array}$$
  
  

4.5 $Bsinc[B(t-{\tau }_m)]$ 的傅里叶变换

• 雷达回波基带信号脉压匹配滤波器的输出一般为 $r_{pc}(\hat{t},t_m)=Bsinc[B(t-{\tau }_m)]\cdot exp(-j2\pi f_0{\tau }_m)$，故对其包络 $Bsinc[B(t-{\tau }_m)]$ 的傅里叶变换分析非常必要。
• 傅里叶变换的时移性质：$f(t\pm t_0)\rightleftharpoons e^{\pm jw{t}_0}F(jw)$
  $$Bsinc[B(t-{\tau }_m)]$$
  $$F(jw)=e^{-jw{\tau }_m}\mathrm{rect}\left(\frac{f}{B}\right)$$