高数-第二讲-数列极限

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数列极限

1、用定义求数列极限

1、数列有无穷多项，数列的子列也有无穷多项，其实子列就是原数列中离散的点集的再分，所以它们的变化趋势都是一样的，所以数列若收敛，那么它的所有的子列全都收敛且收敛到同一个 $A$。

2、数列收敛，则其所有的子列必定收敛，且收敛于同一个 $A$；子列收敛，数列不一定收敛，因为只有当一个数列的所有子列全都收敛于同一个 $A$，才可推出数列收敛：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a\iff \underset{k\to \infty }{\lim }{a}_{3k}=a，且\underset{k\to \infty }{\lim }{a}_{3k+1}=a，且\underset{k\to \infty }{\lim }{a}_{3k+2}=a$$

上式中右边推左边，子列缺一不可。所以说，一个数列的某个子列收敛并不能保证原数列也收敛。

3、数列的子列中，只要有一个子列发散，则原数列发散；若子列都收敛，但并不收敛于同一个 $A$，则原数列也发散。

（2）${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0⟺{\lim }_{n\to \infty }\left|a_n\right|=0$，极限为 $0$ 时才能双向推。

6、对于函数极限也有：

（1）若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A⟹{\lim }_{x\to x_0}|f(x)|=|A|$。

（2）${\lim }_{x\to x_0}f(x)=0⟺{\lim }_{x\to x_0}|f(x)|=0$，极限为 $0$ 时才能双向推。

2、用性质求数列极限

1、收敛数列的性质：

（1）唯一性：只要数列极限存在，则极限必定唯一。

（2）有界性：只要数列极限存在，则数列必定有界。

（3）保号性：若数列极限为 $A$，且 $A>B$，则必定在某一项 $N$ 后所有的项 $x_n$ 全都 $>B$（同理 $A<B$）；若某一数列从某一项 $N$ 后所有的项 $x_n$ 全都 $\ge B$，则数列极限 $A$ 有 $A\ge B$（同理 $A\le B$）。

2、由于最值问题是比较出来的，且根据数列极限的保号性，说明了收敛数列中 $N$ 项后的项没有资格参与比较，故可得出推论：收敛数列中靠前的有限项内必有最大、最小值项。

3、用四则运算求数列极限

1、数列极限的四则运算法则同函数极限的四则运算法则。

4、海涅定理（归结原则）

1、我们知道，在函数极限里有：

若 $f(x)$ 在 $\stackrel{\circ }{U}(x_0,\delta )$内有定义，则 ${\lim }_{x\to x_0^{\pm }}f(x)$ 存在，而当左右极限相等时， ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 才存在，所以 $f(x)$ 在 $\stackrel{\circ }{U}(x_0,\delta )$内有定义是极限存在的必要条件。

它的意思就是：只有 $f(x)$ 在 $x_0$ 的左右有定义，$x\to x_0^{\pm }$ 时的 $f(x)$ 才能有意义，才能计算此时 $f(x)$ 的左右极限，才能进一步得出 $f(x)$ 在 $x_0$ 点的极限。

而最终得出的 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 与在 $x_0$ 点的函数值 $f(x_0)$ 并无关系，它们两个并不一定相等，即使它们两个相等，也是因为函数在 $x_0$ 点处连续。

2、海涅定理：若 ${\lim }_{x\to \bullet }f(x)$ 存在且为 $A$，则对于当 $n\to \infty$ 时，$a_n\to \bullet$ 的任何 $a_n$，极限 ${\lim }_{n\to \infty }f(a_n)$ 也存在且为 $A$。

海涅定理是联系数列极限与函数极限的桥梁，它指出：在极限存在的条件下，函数极限和数列极限可以相互转化，即：

$$对于当n\to \infty 时，a_n\to \bullet 的任何a_n，\underset{n\to \infty }{\lim }f(a_n)⟺\underset{x\to \bullet }{\lim }f(x)=A$$

从而我们可以通过求函数极限来求得数列极限。

但是用数列极限来求函数极限是困难的，关键点在于任何这两个字，因为这样的话需要取得所有的满足 $n\to \infty$ 时，$a_n\to \bullet$ 的$a_n$通通代入测试，若这些数列极限全都存在且相同为 $A$，才能求得对应的函数极限也存在且为 $A$，否则但凡有一个数列极限不存在或不相同，那么对应的函数极限也就不存在。

因此，可以通过求一个 ${\lim }_{x\to \bullet }f(x)=A$ 来得出所有的 ${\lim }_{n\to \infty }f(a_n)=A$；但不能通过求一个 ${\lim }_{n\to \infty }f(a_n)=A$ 来得出 ${\lim }_{x\to \bullet }f(x)=A$。

其实很好理解：$x$ 为实数时，$x\to x_0$ 就是自变量 $x$ 以连续的趋近方式趋近于标准实数 $x_0$，可以理解为 $x$ 的变化趋势是一条连续的点形成的曲线；而离散且逐渐密集的趋近方式的意思是：采集这条曲线上趋近方向相同的若干个离散且逐渐密集的点形成一条断断续续的虚线，这样的虚线与原来的连续曲线的变化趋势是一模一样的，所以它们的极限也是相同的。

千万注意：海涅定理是指数列极限 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\bullet$ 中通项 $a_n$ 的变化趋势与函数极限 ${\lim }_{x\to \bullet }f(x)$ 中自变量 $x$ 的变化趋势相同，即：

$$n\to \infty 时，a_n\to \bullet 等价于x\to \bullet$$

其中$a_n$ 可任取，但最好是取 $n$ 本身。