异或、异或和 的性质与应用

简单理解就是不进位加法，如1+1=0，,0+0=0,1+0=1。

性质

1、交换律

2、结合律（即(a^b)^c == a^(b^c)）

3、对于任何数x，都有x^x=0，x^0=x

4、自反性 A XOR B XOR B = A xor  0 = A

异或运算最常见于多项式除法，不过它最重要的性质还是自反性：A XOR B XOR B = A，即对给定的数A，用同样的运算因子（B）作两次异或运算后仍得到A本身。这是一个神奇的性质，利用这个性质，可以获得许多有趣的应用。 例如，所有的程序教科书都会向初学者指出，要交换两个变量的值，必须要引入一个中间变量。但如果使用异或，就可以节约一个变量的存储空间： 设有A,B两个变量，存储的值分别为a，b，则以下三行表达式将互换他们的值 表达式 （值） ：

 A=A XOR B (a XOR b)

 B=B XOR A (b XOR a XOR b = a) 

 A=A XOR B (a XOR b XOR a = b)

 类似地，该运算还可以应用在加密，数据传输，校验等等许多领域。

运用距离：

1-1000放在含有1001个元素的数组中，只有唯一的一个元素值重复，其它均只出现
一次。每个数组元素只能访问一次，设计一个算法，将它找出来；不用辅助存储空
间，能否设计一个算法实现？

解法一、显然已经有人提出了一个比较精彩的解法，将所有数加起来，减去1+2+…+1000的和。


这个算法已经足够完美了，相信出题者的标准答案也就是这个算法，唯一的问题是，如果数列过大，则可能会导致溢出。


解法二、异或就没有这个问题，并且性能更好。


将所有的数全部异或，得到的结果与1^2^3^…^1000的结果进行异或，得到的结果就是重复数。




但是这个算法虽然很简单，但证明起来并不是一件容易的事情。这与异或运算的几个特性有关系。


首先是异或运算满足交换律、结合律。


所以，1^2^…^n^…^n^…^1000，无论这两个n出现在什么位置，都可以转换成为1^2^…^1000^(n^n)的形式。




其次，对于任何数x，都有x^x=0，x^0=x。


所以1^2^…^n^…^n^…^1000 = 1^2^…^1000^(n^n)= 1^2^…^1000^0 = 1^2^…^1000（即序列中除了n的所有数的异或）。




令，1^2^…^1000（序列中不包含n）的结果为T


则1^2^…^1000（序列中包含n）的结果就是T^n。


T^(T^n)=n。


所以，将所有的数全部异或，得到的结果与1^2^3^…^1000的结果进行异或，得到的结果就是重复数。




当然有人会说，1+2+…+1000的结果有高斯定律可以快速计算，但实际上1^2^…^1000的结果也是有规律的，算法比高斯定律还该简单的多。