随机梯度下降法 (SGD)

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随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent, SGD）是一种常用的优化算法，主要用于训练机器学习模型，尤其是神经网络。是训练优化神经网络的常用方法。

它的基本思想是基于单个样本或小批量样本来更新模型参数，从而加速优化过程。

简介

SGD的基本思想是通过逐个样本或小批量样本来更新模型参数，而不是使用整个数据集。这种方法大大提高了计算效率，特别是在处理大规模数据集时。

原理

SGD 的原理可以分为以下几个步骤：

在现实过程中，如果数据点足够多，那么再一一计算损失函数就会变得不现实，那么在每次计算时就会随机选取其中的某些点来计算损失函数，这样虽然难免会受到某些噪音的影响，但是通过多次计算，总朝着正确的方向收敛，这种影响是可以忽视的。

以上是简单的来源过程，下面会分布介绍：

1. 初始化模型参数：随机选择初始参数值。
2. 随机选择样本：从训练数据集中随机选择一个样本或一个小批量样本。
3. 计算梯度：计算目标函数（例如损失函数）关于模型参数的梯度。
4. 更新参数：根据梯度和学习率更新参数。公式如下：

   $$\begin{gathered} \theta =\theta -\eta {\nabla }_{\theta }J(\theta ;x_i,y_i) \\ 其中，(\theta )是模型参数，(\eta )是学习率，({\nabla }_{\theta }J(\theta ;x_i,y_i))是损失函数关于参数的梯度。 \end{gathered}$$

5. 重复：重复步骤2-4，直到达到停止条件（例如达到最大迭代次数或损失小于某个阈值）。

优劣分析

优点：

1. 计算效率高：每次更新只使用一个样本或一个小批量样本，计算速度快，适合大规模数据集。
2. 在线学习：SGD可以很容易地应用于在线学习，即通过连续获取数据流实时更新模型。
3. 更好的模型泛化性：由于参数更新有一定的随机性，SGD有助于避免陷入局部最优解，从而获得更好的模型泛化性。

缺点：

1. 收敛不稳定：由于每次只使用一个样本计算梯度，参数更新路径非常不稳定，可能导致优化过程中的振荡。
2. 需要调整学习率：学习率的选择非常关键且敏感，通常需要仔细调整以获得最佳效果。
3. 局部解问题：尽管随机性有助于避免陷入局部解，但它不总是能够找到全局最优解。

使用步骤

1. 导入数据和库： 开始时，需要导入必要的库和数据集。例如，如果使用Python进行实现，可以使用如下代码：

   import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt 

2. 初始化模型参数： 为模型参数赋初始值。假设我们要训练一个简单的线性回归模型 ( y = w x + b ) ，初始参数可以设为0或随机值。

   w = np.random.randn() b = np.random.randn() 

3. 设置学习率和超参数： 设定学习率和其他超参数。例如：

   learning_rate = 0.01 num_epochs = 1000 

4. 定义损失函数： 定义我们要最小化的损失函数，比如均方误差（MSE）。

   def compute_loss(y_true, y_pred): return np.mean((y_true - y_pred)  2) 

5. 定义梯度计算： 根据损失函数定义梯度的计算方法。

   def compute_gradients(x, y, w, b): y_pred = w * x + b dw = -2 * np.mean(x * (y - y_pred)) db = -2 * np.mean(y - y_pred) return dw, db 

6. SGD更新步骤： 根据随机选择的样本计算梯度并更新模型参数。以下是循环内的实现方式：

   for epoch in range(num_epochs): # 随机选择一个样本 idx = np.random.randint(len(x_train)) x_sample = x_train[idx] y_sample = y_train[idx] # 计算梯度 dw, db = compute_gradients(x_sample, y_sample, w, b) # 更新参数 w = w - learning_rate * dw b = b - learning_rate * db # 打印损失信息 if epoch % 100 == 0: y_pred = w * x_train + b loss = compute_loss(y_train, y_pred) print(f'Epoch { 
          epoch}, Loss: { 
          loss}') 

7. 模型验证和评估： 在训练完成后，可以使用验证集或测试集来评估模型的性能。例如：

   y_test_pred = w * x_test + b test_loss = compute_loss(y_test, y_test_pred) print(f'Test Loss: { 
          test_loss}') 

示例代码

以下是一个完整的示例代码，用于训练一个简单的线性回归模型，相信初学者可以对随机梯度下降法（SGD）有一个全面而深入的理解：

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 生成一些随机数据 np.random.seed(42) x_train = 2 * np.random.rand(100, 1) y_train = 4 + 3 * x_train + np.random.randn(100, 1) # 初始化参数 w = np.random.randn() b = np.random.randn() # 超参数设置 learning_rate = 0.01 num_epochs = 1000 # 定义损失函数 def compute_loss(y_true, y_pred): return np.mean((y_true - y_pred)  2) # 定义梯度计算 def compute_gradients(x, y, w, b): y_pred = w * x + b dw = -2 * np.mean(x * (y - y_pred)) db = -2 * np.mean(y - y_pred) return dw, db # 训练过程 for epoch in range(num_epochs): # 随机选择一个样本 idx = np.random.randint(len(x_train)) x_sample = x_train[idx] y_sample = y_train[idx] # 计算梯度 dw, db = compute_gradients(x_sample, y_sample, w, b) # 更新参数 w = w - learning_rate * dw b = b - learning_rate * db # 打印损失信息 if epoch % 100 == 0: y_pred = w * x_train + b loss = compute_loss(y_train, y_pred) print(f'Epoch { 
     epoch}, Loss: { 
     loss}') # 模型验证和评估 x_test = np.array([[1], [2]]) y_test = 4 + 3 * x_test y_test_pred = w * x_test + b test_loss = compute_loss(y_test, y_test_pred) print(f'Test Loss: { 
     test_loss}') # 绘制拟合结果 plt.scatter(x_train, y_train, color='blue', label='Training data') plt.plot(x_test, y_test_pred, color='red', label='Fitted line') plt.legend() plt.show() 

改进：动量随机梯度下降

改进：学习率的自动调整

adagrad算法

RMSPROP算法

Adam算法