高数(下) Ch10.重积分

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

Ch10. 重积分

(一) 二重积分

1.二重积分的概念

(1)二重积分的定义

$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(x_i,y_i)\Delta {\sigma }_i$

当$f(x,y)\equiv 1，\underset{D}{\iint }1d\sigma =S$

例题1：10年4.   利用二重积分的定义求极限

答案：D

(2)二重积分的几何意义

曲顶柱体的体积

2.二重积分的性质

(1)不等式性质

①保号性：若$f(x,y)\le g(x,y)$，则$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy\le \underset{D}{\iint }g(x,y)dxdy$

②保号性推论：$|\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy|\le \underset{D}{\iint }|f(x,y)|dxdy$   【积分的绝对值≤绝对值的积分】

③估值定理：$m\sigma \le \underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy\le M\sigma$

(2)二重积分的积分中值定理

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =f(\xi ,n)\cdot S$$

例题1：   保号性

例题2：  保号性

分析：
答案：A

例题3：09年2.   二重积分的奇偶对称性、保号性

答案：A

3.二重积分的计算

重积分化为累次积分：二重积分化为两次定积分

(1)直角坐标

(1)X型区域：先y后x
$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ={\int }_a^{b}dx{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy$

(2)Y型区域：先x后y
$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ={\int }_c^{d}dy{\int }_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)dx$

(2)极坐标

4.圆心既不在原点，也不在坐标轴上时：平移 + 极坐标
$\{\begin{array}{rl}x-x_0& =\rho \cos \theta \\ y-y_0& =\rho \sin \theta \end{array}$

5.广义极坐标 (D为椭圆域)
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$：

令 $u=\frac{x}{a},v=\frac{y}{b}$，则上述椭圆域可化为 圆域：$u^2+v^2=1$

例题1：880 P35 二T7   椭圆域

(3)对称性

①奇偶对称性：关于坐标轴对称

②轮换对称性：关于 $y=x$ 对称

例题4：660 T263   轮换对称性的推广

分析：

答案：D

(4)交接积分次序：画域、重新定限（二重积分化二次积分）

①直角坐标 交换积分次序

①画域：画出二重积分区域D
②重新定限：将X型区域变成Y型，或将Y型区域变为X型。

分析：$-{\int }_{-1}^{0}dy{\int }_2^{1-y}f(x,y)dx$，注意dx的积分限故意写反了！要先提个负号出来！

答案：$-{\int }_1^{2}dx{\int }_{1-x}^{0}f(x,y)dy$

例题2：  极坐标化直角坐标

分析：ρ=cosθ，则ρ²=ρcosθ，即x²+y²=x，偏心圆

答案：D

例3：  直角坐标化极坐标

例题4：06年8.   二重积分：极坐标与直角坐标的转换

分析：①画域 ②重新定限

答案：C

②极坐标 交换积分次序

法一：先θ后r：r=c，是绕坐标原点的一组圆弧。

法二：把ρ,θ当作y,x，重新画直角坐标下的曲线。

例题1：660 T109

例题2：880 P35 二、T6

(二) 三重积分

1.三重积分的概念

2.三重积分的性质

3.三重积分的计算

(1)直角坐标

①先一后二(先单后重) / 投影法

$$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}v=\underset{D_{xy}}{\iint }\mathrm{d}x\mathrm{d}y{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z$$

例题1：23年19.   三重积分的计算：投影法

答案：$(2-\sqrt{2})\pi R^3$

②先二后一 / 截面法

$$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}v={\int }_{z_1}^{z_2}dz\underset{D_z}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

对于f里只含z的三重积分，建议使用截面法：$\underset{\Omega }{\iiint }f(z)\mathrm{d}v={\int }_{z_1}^{z_2}f(z)dz\underset{D_z}{\iint }\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_{z_1}^{z_2}f(z)\cdot D_{z}dz$

例题1：10年12. 三维形心坐标

例题2：18年17.   $第二类曲面积分\stackrel{高斯公式}{\to }三重积分\stackrel{截面法}{\to }二重积分\stackrel{极坐标}{\to }定积分$

(2)柱坐标 (类似二重的极坐标)

2.柱坐标本质：先直角坐标，再极坐标

3.$dv=\rho d\rho d\theta dz$

例题1：10年12题的中间步骤

(3)球面坐标

$$\begin{gathered} \mathrm{d}v=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=r^2\sin \phi \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta \\ \underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)=\underset{\Omega }{\iiint }F(r,\phi ,\theta )r^2\sin \phi \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta ={\int }_{\alpha }^{\beta }\mathrm{d}\theta {\int }_{{\alpha }^{\prime }}^{\beta ‘}\sin \phi \mathrm{d}\phi {\int }_{r_1}^{r_2}F(r,\phi ,\theta )r^2\mathrm{d}r \end{gathered}$$

解2：$\iiint f(z)dv$，用截面法：根据勾股定理，$r^2=R^2-z^2=1-z^2\therefore D_z=\pi r^2=\pi (1-z^2)$

答案：$\frac{4}{15}\pi$

答案：$(2-\sqrt{2})\pi R^3$

例题3：24李林四(一)17.   球面坐标

(4)对称性

①关于坐标面的对称性（偶倍奇零）

关于某坐标轴对称，或关于某坐标平面对称，奇函数积分为0.

例题1：07年18.   椭圆域：也可以偶倍奇零。看到奇函数就要考虑是否有对称性可以直接得0

答案：$\pi -0=\pi$

②轮换对称性

轮换对称性：若积分区域Ω 轮换x、y、z(使y代替x，z代替y，x代替z)，函数不变，则三者地位相等，可以互相代替

例题1：15年12.  求三重积分：轮换对称性 + 截面法

分析：

答案：$\frac{1}{4}$

例题2：18年12.  轮换对称性

答案：$-\frac{\pi }{3}$

本题在2018年时的难度系数为0.026，低的惊人，只有2.6%的人做对了。可见轮换对称性的杀伤力。

例题3：07年14.  关于坐标面的对称性、轮换对称性

分析：$|x|+|y|+|z|=1$ 是正八面体 。

考虑曲面Σ关于yOz平面对称，则关于x的奇函数的曲面积分为0，即$\underset{\Sigma }{\iint }x\mathrm{d}S=0$
∴ $\underset{\Sigma }{\iint }(x+|y|)\mathrm{d}S=\underset{\Sigma }{\iint }|y|\mathrm{d}S\stackrel{轮换对称性}{=}\frac{1}{3}\underset{\Sigma }{\iint }(|x|+|y|+|z|)\mathrm{d}S=\frac{1}{3}\underset{\Sigma }{\iint }\mathrm{d}S$

观察该正八面体 $|x|+|y|+|z|=1$，其在第一卦限上的表面积为一个正三角形，边长为$\sqrt{2}$，则正三角形的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 2=\frac{\sqrt{3}}{2}$

则$\frac{1}{3}\underset{\Sigma }{\iint }\mathrm{d}S=\frac{1}{3}\times 8\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

答案：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$

(5)当 f(x,y,z)=1时，$\underset{\Omega }{\iiint }\mathrm{d}v=V$