算法学习过程——秦九韶算法

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引言

秦九韶（1208年-1261年），字道古，中国南宋数学家，其传世佳作《数书九章》是中国宋元数学的巅峰之作，代表了世界中世纪数学发展的最高水平，是继《九章数学》之后又一部具有创造性成就的数学经典。

以上是秦九韶的个人简介。emmmm……. ，只能说也是大佬中的大佬，在数学界的创作延续八百年形象至今，秦九韶算法在求多项式的值方面仍然是最强最优秀的，在大数取模也用到了秦九韶思想。

介绍

一般地朴素的讲，一元n次多项式的求值需要经过(n+1)*n/2次乘法和n次加法

而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法。

其核心思想在于将一元n次多项式转换为n个一次式

意义

其最大的意义在于将求n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值。

在人工计算时，利用秦九韶算法和其中的系数表可以大幅简化运算；

对于计算机程序算法而言，加法比乘法的计算效率要高很多，因此该算法仍有极大的意义，用于减少CPU运算时间。

抛出问题

$f\left ( x \right ) = a_{3}x^{3}+ a_{2}x^{2}+ a_{1}x^{1}+ a_{0}x^{0}$

如果是朴素的算法： $x\times x\times x \times a_{3}$ 需要 3 次乘法， $x\times x \times a_{2}$ 需要 2 次乘法，

$x \times a_{1}$ 需要 1 次乘法，共需要 6 次乘法，3 次加法

但若使用秦九韶算法进行简化：

$f\left ( x \right ) = a_{3}x^{3}+ a_{2}x^{2}+ a_{1}x+ a_{0}x^{0}$

$=x\times \left ( a_{3}x^{2} + a_{2} x + a_{1} \right ) + a_{0}$

$=x\times \left ( x \left ( a_{3}x + a_{2} \right ) + a_{1} \right ) + a_{0}$

共需要 3 次乘法 3 次加法

问题延申

$f\left ( x \right ) = a_{n}x^{n}+ a_{n-1}x^{n-1}+ a_{n-2}x^{n-2}+ ... a_{1}x + a_{0}$

使用朴素算法：后一项比前一项的指数小 1 ，少算 1 次乘法，成等差数列，

故共进行的乘法数为 $\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}$ ,加法为，复杂度为 $O\left ( n^{2} \right )$

使用秦九韶算法：将n次多项式的值转化为求n个一次多项式，

只进行次乘法加法，复杂度为 $O\left ( n \right )$

应用

一、求多项式的值

核心思想：将n次多项式的值转化为求n个一次多项式。

实现方法：确定的大小，将系数用大小为的数组存储 $0\sim n$ 对应 $a_{0}\sim a_{n}$ 。

设结果为 res 观察上述步骤发现，优先 $res = a_{n} \times x$ ，后 $res + a_{n-1}$

然后反复执行，可以用 for 循环实现

代码实现：

#define int long long int qFun(int factors[],int n, int x){//分别表示系数数组，最大项的系数，未知数x赋的值 int res = factors[n]; for(int i = n;i >=1 ;-- i) { res = res * x; res = res + factors[i-1]; } return res; }

二、大整数取模

提问：如何实现 $10^{10^{5}}$ 对进行取模运算？（提示： 类型能存 9 位数，能存18位数， $10^{10^{5}}$ 共有 $10^{5}$ 位）

核心思想：秦九韶算法思想：从最高位逐步展开，步步取模。

实现方法：将大整数用字符串存储起来，再用一个 int 初始化为 s[0] ,先取模再乘，循环以往操作，可以迭代实现。

代码实现：

#define int long long int qmod(string s,int p) { int ans = 0; for(auto &i : s) { ans = (ans * 10 + i - '0') % p; } return ans; }

总结

将多项式转化为多个一项式，是计算多项式的值最高效的算法。

自用复习以及分享给大家，有任何问题可以留言或私信。

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算法学习过程——秦九韶算法

引言

介绍

意义

抛出问题

问题延申

应用

一、求多项式的值

二、大整数取模

总结

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