几个重要的特殊函数

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几个重要的函数

Ⅰ. 绝对值函数

$$f(x)=\left|x\right|=\{\begin{array}{r}-x,x<0\\ x,x\ge 0\end{array}=\{\begin{array}{r}-x,x<0\\ 0,x=0\\ -x,x<0\end{array}$$

连续不一定可导，可导一定连续。

Ⅱ. 最值函数

U = max ⁡ { f ( x ) , g ( x ) } V = min ⁡ { f ( x ) , g ( x ) } U = \max \left\{f(x), g(x)\}\right.\\ V = \min\left\{f(x), g(x)\}\right. U=max{
f(x),g(x)}V=min{
f(x),g(x)}

展开得到：

$$\begin{gathered} U=\frac{f(x)+g(x)+\left|f(x)-g(x)\right|}{2} \\ V=\frac{f(x)+g(x)-\left|f(x)-g(x)\right|}{2} \end{gathered}$$

可以推出：

$$\begin{gathered} U+V=f(x)+g(x) \\ U-V=f(x)-g(x) \\ U\cdot V=f(x)\cdot g(x) \end{gathered}$$

Ⅲ. 符号函数

$$f(x)=sgnx=\{\begin{array}{r}-1,x<0\\ 0,x=0\\ 1,x>0\end{array}$$

Ⅳ. 取整函数

$$f(x)=\lfloor x\rfloor$$

不超过x的最大整数。

可以推出：

$$\begin{gathered} x-1<\lfloor x\rfloor \le x \\ \lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n,n是整数 \end{gathered}$$

Ⅴ. 分段函数

$$f(x)=\{\begin{array}{r}f(x),x\le x_0\\ g(x),x>x_0\end{array}$$

或

$$f(x)=\{\begin{array}{r}f(x),x<x_0\\ a,x=x_0\\ g(x),x>x_0\end{array}$$

Ⅵ. 狄利克雷函数

$$D(x)=\{\begin{array}{r}1,x\in \mathbb{Q}\\ 0,x\in {\mathbb{Q}}^{\complement }\end{array},\mathbb{Q}表示有理数,{\mathbb{Q}}^{\complement }表示有理数的补集$$

Ⅶ. 幂指函数

$$f(x)=u(x{)}^{v(x)},u(x)>0,且u(x)\ne 1$$

可以推出：

$$u(x{)}^{v(x)}=e^{v(x)\cdot \ln u(x)}$$

用于幂指函数求导。