瞬时功率与平均功率

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瞬时功率与平均功率

瞬时功率

定义

元件吸收的瞬时功率$p$(t)等于该元件两端的瞬时电压$v$(t)与流经该元件的瞬时电流$i$(t)的乘积

$$p(t)=v(t)i(t)$$

瞬时功率推导

考虑电路在正弦信号激励下吸收的瞬时功率，令电路终端的电压与电流为：

$$v(t)=V_m\cos (\omega t+{\theta }_{\upsilon })$$

$$\begin{array}{r}i(t)=I_m\cos (\omega t+{\theta }_i)\end{array}$$

• Vm与Im为振幅，${\theta }_v$与${\theta }_i$分别为电压与电流的相位角

于是，电路吸收的瞬时功率为：

$$p(t)=v(t)i(t)=V_m{I}_m\cos (\omega t+{\theta }_v)\cos (\omega t+{\theta }_i)$$

利用三角恒等式：

$$\cos A\cos B=\frac{1}{2}[\cos (A-B)+\cos (A+B)]$$

将瞬时功率写为：

$$p(t)=\frac{1}{2}{V}_m{I}_m\cos ({\theta }_{\upsilon }-{\theta }_i)+\frac{1}{2}{V}_m{I}_m\cos (2\omega t+{\theta }_{\upsilon }+{\theta }_i)$$

• T=2π/ω为电压或电流的周期
• $p$(t)为周期信号，$p$(t)=$p$(t+T0)
• 周期T0=T/2，$p$(t)的频率是电压或电流频率的2倍

瞬时功率函数图像

上式表明：瞬时功率包括两部分

• 第一部分为常量，与时间无关，其值取决于电压与电流之间的相位差
• 第二部分为正弦函数，其频率为2ω，即电压或电流角频率的两倍

 电路吸收的瞬时功率$p$(t) 

• 当$p$(t)为正时，电路吸收功率
• 当$p$(t)为负时，电源吸收功率，也就是说功率由电路传送到电源，这种情况在电路中包括储能元件（电感器或电容器）

平均功率

定义

平均功率（单位为瓦特）是指一个周期内瞬时功率的平均值

表达式

周期T的平均功率可以表示为：

$$P=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}p(t)dt$$

平均功率推导

• 将瞬时功率$p$(t)带入平均功率P

  $$P=\frac{1}{T}{\int }_0^T\frac{1}{2}{V}_{\mathfrak{m}}{I}_{\mathfrak{m}}\cos ({\theta }_{\mathfrak{v}}-{\theta }_i)\mathrm{dt}+\frac{1}{T}{\int }_0^T\frac{1}{2}{V}_{\mathfrak{m}}{I}_{\mathfrak{m}}\cos (2\mathbf{\omega }t+{\theta }_v+{\theta }_i)\mathrm{dt}$$

  $$=\frac{1}{2}{V}_{\mathfrak{m}}{I}_{\mathfrak{m}}\cos ({\theta }_v-{\theta }_i)\frac{1}{T}{\int }_0^T\mathrm{d}t+\frac{1}{2}{V}_{\mathfrak{m}}{I}_{\mathfrak{m}}\frac{1}{T}{\int }_0^T\cos (2\omega t+{\theta }_v+{\theta }_i)\mathrm{d}t$$

  • 第一项为常数，常数的平均仍为原来的常数
  • 第二项为正弦函数的积分，因为正弦函数正半周的面积与其负半周的面积相互抵消，所以正弦函数在一个周期内的平均为零

于是平均功率为：

$$P=\frac{1}{2}{V}_m{I}_m\cos ({\theta }_v-{\theta }_i)$$

• 由于$\cos ({\theta }_v-{\theta }_i)=\cos ({\theta }_i-{\theta }_v)$，所以重要的是电压与电流之间的相位差
• $p$(t)是随时间变化的，如果要求瞬时功率，必须求出时域中的$v$(t)与$i$(t)
• 而P是与时间无关的，求平均功率时，只需要电压与电流在时域中表达式为上式$cos$形式

频域平均功率

$v$(t)与$i$(t)的相量形式分别为

$$\mathbf{V}=V_m\angle {\theta }_{\upsilon }\mathbf{I}=I_m\angle {\theta }_i$$

利用相量计算时，由于：

$$\frac{1}{2}{\mathbf{VI}}^{\ast }=\frac{1}{2}{V}_{\mathfrak{m}}{I}_{\mathfrak{m}}\angle {\theta }_{\mathfrak{v}}-{\theta }_{\mathfrak{i}}=\frac{1}{2}{V}_{\mathfrak{m}}{I}_{\mathfrak{m}}[\cos ({\theta }_{\mathfrak{v}}-{\theta }_i)+j\sin ({\theta }_{\mathfrak{v}}-{\theta }_i)]$$

即$\frac{1}{2}{\mathbf{VI}}^{\ast }$的实部等于平均功率P

$$P=\frac{1}{2}\mathrm{Re}[{\mathbf{VI}}^{\ast }]=\frac{1}{2}{V}_m{I}_m\cos ({\theta }_{\upsilon }-{\theta }_i)$$

纯电阻/阻抗电路

当${\theta }_v={\theta }_i$时，电压电流同相，为纯电阻电路

$$P=\frac{1}{2}{V}_m{I}_m=\frac{1}{2}{I}_m^{2}R=\frac{1}{2}|\mathbf{I}{|}^{2}R$$

• $|\mathbf{I}{|}^2=\mathbf{I}\times {\mathbf{I}}^{\ast }$
• 表明纯电阻电路在任何时刻均吸收功率

当${\theta }_v-{\theta }_i=\pm 90^{\circ }$，为纯电抗电路

$$P=\frac{1}{2}{V}_m{I}_m\cos 90^{\circ }=0$$

• 表明纯电抗电路吸收的平均功率为零

电阻性负载R在任何时刻均吸收功率，而电抗负载L或C吸收的平均功率为零

列

计算瞬时功率与平均功率

• Given that $v(t)=120\cos (377t+45^{\circ })\text{ V }i(t)=10\cos (377t-10^{\circ })\text{ A}$

瞬时功率

$$p=vi=1200\cos (377t+45^{\circ })\cos (377t-10^{\circ })$$

三角恒等式

$$\cos A\cos B=\frac{1}{2}[\cos (A+B)+\cos (A-B)]$$

即

$$p=600[\cos (754t+35^{\circ })+\cos 55^{\circ }]$$

$$p(t)=344.2+600\cos (754t+35^{\circ })\text{W}$$

平均功率

$$P=\frac{1}{2}{V}_m{I}_m\cos ({\theta }_{\upsilon }-{\theta }_i)=\frac{1}{2}120(10)\cos [45^{\circ }-(-10^{\circ })]$$

$$=600\cos 55^{\circ }=344.2\mathrm{W}$$

• 即上述$p$(t)中的常数项

计算负载平均功率

• Calculate the average power absorbed by an impedance $\mathbf{Z}=30-j70\Omega$
• when a voltage$\mathbf{V}=120\angle 0^{\circ }$ is applied across it

流过该阻抗的电流为：

$$\mathbf{I}=\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{Z}}=\frac{120\angle 0^{\circ }}{30-j70}=\frac{120\angle 0^{\circ }}{76.16\angle -66.8^{\circ }}=1.576\angle 66.8^{\circ }\text{ A}$$

平均功率为：

$$P=\frac{1}{2}{V}_m{I}_m\cos ({\theta }_{\upsilon }-{\theta }_i)=\frac{1}{2}(120)(1.576)\cos (0-66.8^{\circ })=37.24\text{W}$$

计算电源平均功率

• 计算电源提供的平均功率与电阻器吸收的平均功率

电路中电流I为：

$$\mathbf{I}=\frac{5\angle 30^{\circ }}{4-j2}=\frac{5\angle 30^{\circ }}{4.472\angle -26.57^{\circ }}=1.118\angle 56.57^{\circ }\text{ A}$$

电压源提供的平均功率为：

$$P=\frac{1}{2}(5)(1.118)\cos (30^{\circ }-56.57^{\circ })=2.5\text{ W}$$

电阻器两端的电压为：

$${\mathbf{V}}_R=4{\mathbf{I}}_R=4.472\angle 56.57^{\circ }\text{ V}$$

该电阻器吸收的平均功率为：

$$P=\frac{1}{2}(4.472)(1.118)=2.5\text{ W}$$

• 由此可见：电阻器吸收的平均功率与电源提供的平均功率相同，电容器吸收的平均功率为零

计算无源器件平均功率

• 计算各电源产生的平均功率以及各无源元件吸收的平均功率

应用网孔分析法

对于网孔1：

$${\mathbf{I}}_1=4\mathrm{A}$$

对于网孔2：

$$\begin{array}{rl}(j10-j5){\mathbf{I}}_2-j10{\mathbf{I}}_1+60& \angle 30^{\circ }=0{\mathbf{I}}_1=4\text{ A}\end{array}$$

$$j5{\mathbf{I}}_2=-60\angle 30°+\mathrm{j}40\Rightarrow {\mathbf{I}}_2=-12\angle -60°+8=10.58\angle 79.1°\mathrm{A}$$

对于电压源而言，流过它的电流其两端的电压为

$${\mathbf{I}}_2=10.\text{ 58 }\angle 79.1°\text{A }60\angle 30°\text{V}$$

于是平均功率为：

$$P_5=\frac{1}{2}(60)(10.58)\cos (30^{\circ }-79.1^{\circ })=207.8\text{ W}$$

• 从I2的方向与电压源的极性来看，这个平均功率是被电压源吸收的

对于电流源而言，流过它的电流及两端的电压为：

$${\mathbf{I}}_1=4\angle 0^{\circ }{\mathbf{V}}_1=20{\mathbf{I}}_1+\mathrm{j}10({\mathbf{I}}_1-{\mathbf{I}}_2)=183.9+\mathrm{j}20=184.984\angle 6.21\text{V}$$

该电流源提供的平均功率为：

$$P_1=-\frac{1}{2}(184.984)(4)\cos (6.21^{\circ }-0)=-367.8\text{ W}$$

• 平均功率为负，表示该电流源向电路提供功率

对于电阻器而言，流过它的电流及两端的电压为：

$${\mathbf{I}}_1=4\angle 0°\text{ 20}{I}_1=80\angle 0°$$

该电阻器吸收的功率为：

$$P_2=\frac{1}{2}(80)(4)=160\mathrm{W}$$

对于电容器而言，流过它的电流及两端的电压为：

$${\mathbf{I}}_2=10.58\angle 79.1^{\circ }-j5{\mathbf{I}}_2=(5\angle -90^{\circ })(10.58\angle 79.1^{\circ })=52.9/79.1^{\circ }-90^{\circ }$$

该电容器吸收的功率为：

$$P_4=\frac{1}{2}\times 52.9\times 10.58\cos (-90^{\circ })=0$$

对于电感器而言，流过它的电流及两端的电压为：

$$I_1-I_2=2-\mathrm{j}10.39=10.58\angle -79.1$$

$$j10(I_1-I_2)=105.8\angle -79.1^{\circ }+90^{\circ }$$

电容器吸收的平均功率为：

$$P_3=\frac{1}{2}\times 105.8\times 10.58\cos 90°=0$$

电感器与电容器吸收的功率均为零，并且电流源提供的总功率等于电阻器与电压源吸收的功率

$$P_1+P_2+P_3+P_4+P_5=-367.8+160+0+0+207.8=0$$