极限计算器（基础版）

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前言

最近，我在重温高数极限的时候，有时自己计算极限有些耗时，我就想着利用程序代码来帮我计算，这样就能很大的程度上压缩计算时间，将更多的时间利用在极限计算原理的理解上。

因此，在我重温了高数极限计算的基础部分之后，我就着手构建程序。

对于这个程序，在我看来要从简单开始，然后一步一步的开始计算复杂的极限。于是，这个计算器要能够计算基本初等函数的极限，比如：三角函数、指出函数等等。

在这个程序中，利用数学函数极限的定义和性质来计算函数极限，在计算中我分别计算函数的正无穷处的极限和负无穷处的极限，如果两个值相等，则函数在无穷远处具有极限，极限就等于之前计算的值，反之则没有极限；如果只计算其中一处的极限，那么能计算出值就有极限，反之没有。这个计算器也能计算出趋近确切值出的函数极限。

正篇

函数极限定义和性质

一、定义

趋于有限值的极限：

设函数f(x)在点xo的一个去心邻域内有定义，如果当x趋于xo时，函数值f(x)无线接近于某个确定的值A，则此值就为函数f(x)在点xo的极限，记为：

  或者  

反之，A不存在，则函数f(x)没有极限，常用不存在。

左极限和右极限：

根据上述定义我们很容易得知左极限和右极限，记为：

左极限：     或者   

右极限：     或者   

趋于无穷远处的极限：

   或者   

正无穷和负无穷的极限同上。

二、性质

1、唯一性：

如果存在，那么这个极限是唯一的。

2、局部有限性：

如果存在，那么在点的某个去心邻域内，函数有界。

3、局部保号性：

如果，且（或），那么在点的某个去心邻域内，有（或）

定义函数计算极限

根据以上内容，我可以知道函数的极限是唯一的，那么计算函数正无穷处的极限和负无穷处的极限应当相等，得出函数在无穷远处的极限，于是在代码中发分别计算正无穷和负无穷处的极限，如果两者相等，则函数有极限，输出值；反之无极限。

如果自变量趋近某个确切的值，那么直接计算即可。

总之，计算函数极限我在代码中分为以上两种情况，趋于无穷和趋于某个特定的值。

代码展示：

def calculate_limit(expr, var, approach): var = sp.symbols(var) expr = sp.sympify(expr) if approach == 'oo': # 处理无穷大 limit_result_plus = sp.limit(expr, var, sp.oo, dir='+') limit_result_minus = sp.limit(expr, var, sp.oo, dir='-') if limit_result_plus == limit_result_minus: limit_result = limit_result_plus else: limit_result = '不存在或不确定' elif approach == '-oo': # 处理负无穷大 limit_result_plus = sp.limit(expr, var, -sp.oo, dir='+') limit_result_minus = sp.limit(expr, var, -sp.oo, dir='-') if limit_result_plus == limit_result_minus: limit_result = limit_result_plus else: limit_result = '不存在或不确定' else: limit_result = sp.limit(expr, var, float(approach)) return limit_result

代码解释：

var和expr的代码前者是将var字符转换为sympy的符号变量，后者是将表达式字符串转换为sympy可以识别和处理的表达式。

然后就是计算无穷的情况，注意没有处理无穷大时，我没有写+，这也默认是正无穷。

在计算无穷时函数的极限，这里出现了+或-的情况，但是请注意，这里在数学上是没有意义的，可是为了保证不引入特殊情况，让代码不复杂，就这样写了，我想这几句代码写不写都无所谓。

绘制函数图像

我为了更好的分析函数，于是添加了绘制图像的功能。

函数图像的绘制的方法中有一个是五点法，于是我在代码中生成1000关于自变量x的值，然后将其代入到获取的函数表达式中计算其函数值，最终形成1000个关于x和f(x)的数组，连线而成函数图像。

代码展示：

def plot_function(expr, var, x_min, x_max): var = sp.symbols(var) expr = sp.sympify(expr) x = np.linspace(x_min, x_max, 1000) y = [expr.subs(var, x_i).evalf() for x_i in x] plt.plot(x, y) plt.xlabel(var) plt.ylabel('f(' + str(var) + ')') plt.title('函数 f(' + str(var) + ') 的图像') plt.grid(True) plt.show()

创建输入界面

做完上述工作，要更好的输入函数表达式，也不用频繁的更改代码来实现函数的变更，于是创建了一个UI界面，以便于更好的进行函数极限的运算。

代码展示：

def create_ui(): root = tk.Tk() root.title("极限计算器和函数图像绘制器") # 创建输入框和标签 # 输入函数表达式，注意输入时要表现数字与自变量之间的关系，比如：2x不能输入2x，要输入2*x expr_label = tk.Label(root, text="函数表达式 (例如 x^2, e^x, sin(x), 1/x):") expr_label.grid(row=0, column=0) expr_entry = tk.Entry(root) expr_entry.grid(row=0, column=1) # 定义自变量，因为有时计算函数的极限时，函数表达式中有字母，那就要表明其不是自变量，防止干扰计算 var_label = tk.Label(root, text="变量 (例如 x):") var_label.grid(row=1, column=0) var_entry = tk.Entry(root) var_entry.grid(row=1, column=1) # 输入接近值时，确切的数字输入就不再赘述，输入无穷时要注意输入的是o,不是零 approach_label = tk.Label(root, text="接近的值 (例如 1, 'oo' 表示无穷大):") approach_label.grid(row=2, column=0) approach_entry = tk.Entry(root) approach_entry.grid(row=2, column=1)

按钮绑定

设置了UI界面，就肯定有按钮，要让按钮发挥作用就需要为其绑定事件，当我们按下时就会触发，实现我们想要的功能。

代码展示：

 # 定义计算极限的函数 def calculate(): try: # 从UI界面获取函数表达式、自变量和趋近值 expr = expr_entry.get() var = var_entry.get() approach = approach_entry.get() # 调用函数计算极限 limit_result = calculate_limit(expr, var, approach) # 显示结果 messagebox.showinfo("结果", f"当 {var} 趋近于 {approach} 时，函数的极限值为 {limit_result}") except Exception as e: messagebox.showerror("错误", str(e)) # 创建计算按钮，用于触发极限计算 calculate_button = tk.Button(root, text="计算极限", command=calculate) # 按钮放置的位置 calculate_button.grid(row=3, column=0, columnspan=2) # 定义绘制函数图像的函数 def plot(): try: # 获取函数表达式和自变量 expr = expr_entry.get() var = var_entry.get() x_min = float(approach_entry.get()) # 使用接近值作为x的最小值 x_max = x_min + 10 # 设置x的最大值为接近值加10 # 绘制图像 plot_function(expr, var, x_min, x_max) except Exception as e: messagebox.showerror("错误", str(e)) # 创建绘图按钮 plot_button = tk.Button(root, text="绘制图像", command=plot) # 按钮放置位置 plot_button.grid(row=4, column=0, columnspan=2)

效果演示

完成了主要代码的设置之后，开始验证：

注意：因为代码中选取接近值作为图像的起点，如果是oo就无法画出图像，所以我直接给了一个确定的值。

感言

这段代码还不能计算很复杂的函数极限，我会加油改进，如果这段代码中有错误，请各位大佬指正，不胜感激。