高等数学基本知识

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定积分

一、定义

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。具体来说，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间，并在每个子区间内任取一点作函数值的乘积之和，当子区间的最大长度趋于0时，这个和式的极限即为定积分。

二、表示方法

定积分用符号“∫”表示，积分下限为a，积分上限为b，被积函数为f(x)，因此定积分可以表示为：∫(a->b)f(x)dx。

三、性质

1. 线性性质：若a与b均为常数，则∫(a->b)[a×f(x)+b×g(x)]dx=a×∫(a->b)f(x)dx+b×∫(a->b)g(x)dx。
2. 区间可加性：若a<c<b，则∫(a->b)f(x)dx=∫(a->c)f(x)dx+∫(c->b)f(x)dx。
3. 保号性：如果在区间[a,b]上f(x)≥0，那么∫(a->b)f(x)dx≥0（a<b）。
4. 积分中值定理：如果函数f(x)在积分区间[a,b]上连续，那么在[a,b]上至少存在一个点c，使得∫(a->b)f(x)dx=f(c)(b-a)（a≤c≤b）成立。

四、计算方法

1. 牛顿-莱布尼茨公式：如果f(x)是[a,b]上的连续函数，并且有F′(x)=f(x)，那么∫(a->b)f(x)dx=F(b)-F(a)。这个公式揭示了定积分与不定积分之间的本质联系。
2. 换元积分法：如果f(x)∈c([a,b])，x=ψ(t)在[a,β]上单值可导，当a≤t≤β时，a≤ψ(t)≤b，且ψ(a)=a，ψ(β)=b，则∫(a->b)f(x)dx=∫(β->a)f(ψ(t))ψ′(t)dt。
3. 分部积分法：设u=u(x)，v=v(x)均在区间[a,b]上可导，且u′，v′∈R([a,b])，则有分部积分公式：∫(a->b)u(x)dv(x)=u(x)v(x)-∫(a->b)v(x)du(x)。

五、应用

1. 求平面图形的面积：定积分可以用来求解由曲线、直线等围成的平面图形的面积。
2. 求变速直线运动的路程：在物理学中，定积分可以用来求解变速直线运动物体在一段时间内的路程。
3. 求变力作功：在力学中，定积分可以用来求解物体在变力作用下所做的功。

多元函数

一、定义

设D为一个非空的n元有序数组的集合，f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组(x₁,x₂,…,xₙ)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。记为y=f(x₁,x₂,…,xₙ)，其中(x₁,x₂,…,xₙ)∈D。变量x₁,x₂,…,xₙ称为自变量，y称为因变量。当n=1时，为一元函数；当n=2时，为二元函数；当n≥2时，n元函数泛称为多元函数。

二、三要素

1. 定义域：多元函数的定义域D是n元有序数组的集合，即n个自变量的取值范围。对于二元函数，其定义域通常是由平面上的一条或几条光滑曲线所围成的平面区域。
2. 对应规则：也称对应关系、对应法则或对应规律，f可以用数学表达式（包括解析式）、图象、表格等表示。这是多元函数的核心，它描述了自变量与因变量之间的对应关系。
3. 值域：全体函数值的集合称为函数的值域。对于多元函数，其值域是所有可能的因变量y的集合。

三、性质

1. 连续性：多元函数在某点连续意味着当自变量在该点附近变化时，因变量的变化也是连续的。
2. 可导性：多元函数在某点可导意味着在该点附近，函数值的变化率（即导数）存在且唯一。
3. 可微性：多元函数在某点可微意味着在该点附近，函数值的变化可以用一个线性函数来近似表示。

四、计算方法

1. 偏导数：多元函数关于某一个自变量的导数称为偏导数。它描述了函数在该自变量方向上的变化率。
2. 全微分：多元函数的全微分描述了函数在所有自变量方向上的总变化量。
3. 方向导数与梯度：方向导数描述了函数在某一特定方向上的变化率，而梯度则是一个向量，它指向函数值增长最快的方向，并且其大小等于该方向上的方向导数。

五、应用

1. 优化问题：多元函数经常用于描述多变量系统的性能或成本等。通过求解函数的极值（最大值或最小值），可以找到系统的最优状态。
2. 微分方程：许多自然现象和工程问题可以用微分方程来描述。多元函数在求解这些微分方程时起着重要作用。
3. 概率与统计：在概率论和统计学中，多元函数用于描述多个随机变量之间的关系和分布特性。

梯度

一、定义

设D为一个非空的n元有序数组的集合，f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组(x₁,x₂,…,xₙ)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。记为y=f(x₁,x₂,…,xₙ)，其中(x₁,x₂,…,xₙ)∈D。变量x₁,x₂,…,xₙ称为自变量，y称为因变量。当n=1时，为一元函数；当n=2时，为二元函数；当n≥2时，n元函数泛称为多元函数。

二、三要素

1. 定义域：多元函数的定义域D是n元有序数组的集合，即n个自变量的取值范围。对于二元函数，其定义域通常是由平面上的一条或几条光滑曲线所围成的平面区域。
2. 对应规则：也称对应关系、对应法则或对应规律，f可以用数学表达式（包括解析式）、图象、表格等表示。这是多元函数的核心，它描述了自变量与因变量之间的对应关系。
3. 值域：全体函数值的集合称为函数的值域。对于多元函数，其值域是所有可能的因变量y的集合。

三、性质

1. 连续性：多元函数在某点连续意味着当自变量在该点附近变化时，因变量的变化也是连续的。
2. 可导性：多元函数在某点可导意味着在该点附近，函数值的变化率（即导数）存在且唯一。
3. 可微性：多元函数在某点可微意味着在该点附近，函数值的变化可以用一个线性函数来近似表示。

四、计算方法

1. 偏导数：多元函数关于某一个自变量的导数称为偏导数。它描述了函数在该自变量方向上的变化率。
2. 全微分：多元函数的全微分描述了函数在所有自变量方向上的总变化量。
3. 方向导数与梯度：方向导数描述了函数在某一特定方向上的变化率，而梯度则是一个向量，它指向函数值增长最快的方向，并且其大小等于该方向上的方向导数。

五、应用

1. 优化问题：多元函数经常用于描述多变量系统的性能或成本等。通过求解函数的极值（最大值或最小值），可以找到系统的最优状态。
2. 微分方程：许多自然现象和工程问题可以用微分方程来描述。多元函数在求解这些微分方程时起着重要作用。
3. 概率与统计：在概率论和统计学中，多元函数用于描述多个随机变量之间的关系和分布特性。

二重积分

一、定义与本质

1. 定义：设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上，将区域D任意分成n个子域，并以Δσi表示第i个子域的面积。在Δσi上任取一点(xi,yi)作和Si=f(xi,yi)Δσi。如果当各个子域的直径中的最大值趋于零时，此和式的极限存在，且该极限值与区域D的分法及(xi,yi)的取法无关，则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分，记为∬Df(x,y)dσ，其中f(x,y)称为被积函数，dσ称为面积元素，D称为积分区域，∬称为二重积分号。
2. 本质：二重积分本质是求曲顶柱体体积。当被积函数f(x,y)非负时，它表示以曲面z=f(x,y)为顶、闭区域D为底的曲顶柱体的体积。

二、性质

1. 可积性与积分区间：二重积分存在的前提是函数在积分区域内是可积的。如果函数在某一区间内无界，那么该区间不适宜进行二重积分。
2. 积分的线性性质：二重积分满足线性性质，即对于任意常数a和b，有∬D(af(x,y)+bg(x,y))dA=a∬Df(x,y)dA+b∬Dg(x,y)dA。
3. 对积分次序的不变性：在二重积分中，改变积分次序通常不会改变积分的值，但会改变积分的计算过程。
4. 区域变换性质：如果积分区域D关于某条线或某个点对称，那么被积函数关于这条线或这个点的对称性会影响积分的值。
5. 对变量的独立性：二重积分中的变量是独立的，这意味着可以将积分区域D分解成两个相互独立的子区域，然后分别计算各自的积分，最后将结果相加。
6. 存在定理：如果函数在闭区域D上连续，那么该函数在D上可积，且二重积分存在。
7. 积分中值定理：类似于单变量函数的积分中值定理，二重积分也存在类似的中值定理。它表明对于连续函数f(x,y)，存在点(x0,y0)在区域D内，使得∬Df(x,y)dA=f(x0,y0)·SD，其中SD是区域D的面积。

三、计算方法

1. 化为二次积分：计算二重积分的基本方法是将二重积分的计算转化为连续地计算两个定积分，即计算累次积分。这通常涉及选择适当的坐标系（直角坐标系或极坐标系）和积分次序（先对哪个变量积分）。
2. 利用对称性：如果积分区域或被积函数具有对称性，可以利用这一性质简化计算。
3. 选择坐标系：在直角坐标系中，二重积分可以表示为∬Df(x,y)dxdy；在极坐标系中，它则可以表示为∬Df(r,θ)rdrdθ（其中r和θ是极坐标变量）。选择哪种坐标系取决于被积函数和积分区域的特征。

四、应用

二重积分在数学和物理学中有广泛的应用，包括但不限于：

1. 计算曲面的面积：通过二重积分可以计算由二元函数定义的曲面的面积。
2. 计算平面薄片重心：二重积分可以用于计算平面薄片（如均匀分布的金属板）的重心位置。
3. 计算物理量：在物理学中，二重积分可用于计算平面薄片转动惯量、平面薄片对质点的引力等物理量。

三角函数

一、基本三角函数

1. 正弦函数（Sine）：记作 sinx，表示一个直角三角形中，对边与斜边的比值。在直角坐标系中，sinx 也可以看作单位圆上角度 x 对应的点的纵坐标。
2. 余弦函数（Cosine）：记作 cosx，表示一个直角三角形中，邻边与斜边的比值。在直角坐标系中，cosx 可以看作单位圆上角度 x 对应的点的横坐标。
3. 正切函数（Tangent）：记作 tanx，表示一个直角三角形中，对边与邻边的比值。在直角坐标系中，tanx 可以看作单位圆上角度 x 对应的点的纵坐标与横坐标的比值。

此外，还有余切函数（Cotangent，记作 cotx）、正割函数（Secant，记作 secx）和余割函数（Cosecant，记作 cscx），它们分别是 tanx、cosx 和 sinx 的倒数。

二、三角函数的性质

1. 周期性：三角函数都是周期函数，即它们在一个特定的区间内重复其值。例如，sinx 和 cosx 的周期都是 2π。
2. 奇偶性：sinx 是奇函数，cosx 是偶函数。这意味着 sin(−x)=−sinx，cos(−x)=cosx。
3. 和差公式：三角函数满足一系列的和差公式，这些公式在解决三角函数问题时非常有用。
4. 倍角公式：三角函数也满足倍角公式，这些公式允许我们将一个角度的三角函数表示为另一个角度（通常是该角度的两倍）的三角函数的函数。
5. 积化和差公式与和差化积公式：这些公式允许我们将两个三角函数的乘积或和差转换为另一个形式，这在积分和微分方程中特别有用。

三、三角函数的常用公式

• 基本关系式

1. 同角三角函数的基本关系：
   • sin2α+cos2α=1
   • 1+tan2α=sec2α
   • 1+cot2α=csc2α

• 和差角公式

1. 正弦的和差公式：
   • sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
2. 余弦的和差公式：
   • cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ
3. 正切的和差公式：
   • tan(α±β)=1∓tanαtanβtanα±tanβ​

• 倍角公式

1. 正弦的倍角公式：
   • sin2α=2sinαcosα
2. 余弦的倍角公式：
   • cos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1=1−2sin2α
3. 正切的倍角公式：
   • tan2α=1−tan2α2tanα​

• 半角公式

1. 正弦的半角公式：
   • sin2α​=21−cosα​​
2. 余弦的半角公式：
   • cos2α​=21+cosα​​
3. 正切的半角公式：
   • tan2α​=sinα1−cosα​=1+cosαsinα​

• 和差化积公式与积化和差公式

1. 和差化积公式：
   • sinα+sinβ=2sin2α+β​cos2α−β​
   • sinα−sinβ=2cos2α+β​sin2α−β​
   • cosα+cosβ=2cos2α+β​cos2α−β​
   • cosα−cosβ=−2sin2α+β​sin2α−β​
2. 积化和差公式：
   • sinαcosβ=21​[sin(α+β)+sin(α−β)]
   • cosαsinβ=21​[sin(α+β)−sin(α−β)]
   • cosαcosβ=21​[cos(α+β)+cos(α−β)]
   • sinαsinβ=−21​[cos(α+β)−cos(α−β)]

三角函数具有周期性，因此可以通过诱导公式将任意角度的三角函数值转化为已知角度的三角函数值。例如：

四、三角函数在高等数学中的应用

1. 微积分：三角函数在微积分中有广泛的应用，特别是在求解积分和微分方程时。例如，sinx 和 cosx 的积分和导数都是它们自身或彼此之间的线性组合。
2. 级数：三角函数在级数理论中也有重要的应用。例如，傅里叶级数允许我们将任何周期函数表示为正弦和余弦函数的线性组合。
3. 复分析：在复分析中，三角函数与指数函数和欧拉公式有密切的联系。欧拉公式 eix=cosx+isinx 将三角函数与复数联系起来，为三角函数提供了新的视角和工具。
4. 物理和工程：三角函数在物理和工程中也有广泛的应用。例如，在波动、振动和信号处理等领域中，三角函数是描述周期性现象的基本工具。