驻点、极值点

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驻点是函数的一阶导数为零的点。对于多元函数，驻点是所有一阶偏导数都为零的点。

一元函数驻点：令函数y=f(x),若f'(x0)=0,则x0是驻点。

二元函数驻点：令函数y=f(x，y)的两个一阶偏导都为0的点。

 例如：

函数 f(x,y) = x*x*x - 4*x*x + 2*x*y - y*y;

解方程组  

fx(x,y) = 3*x*x - 8*x + 2*y = 0 fy(x,y) = 2*x - 2*y = 0;

可得驻点为（0，0）（2，2）

极值点是函数图像的某段子区间内上极大值或者极小值点的横坐标。

极值点出现在函数的驻点（导数为0的点）或不可导点处（导函数不存在，也可以取得极值，此时驻点不存在）

一元函数：

设函数 f(x) 在 x0 的某一邻域内可导，且 f'(x0) = 0 (或 f(x) 在 x0 处连续，但 f'(x0) 不存在.)

        (1) 若当 x 经过 x0 时，f'(x) 由“+”变“-”，则函数在 x0 处取得极大值.

        (2) 若当 x 经过 x0 时，f'(x) 由“-”变“+”，则函数在 x0 处取得极小值.

        (3) 若当 x 经过 x0 时，f'(x) 不变号，则 x0 不是极值.

设函数 f(x) 在 x0 处有f”(x)0，且f'(x0) = 0.

       (1) 当f”(x0)<0时，函数在 x0 处取得极大值.

       (2) 当f”(x0)>0时，函数在 x0 处取得极小值.

二元函数：判断驻点

                             f(x,y)的二阶导数为 fxx(x,y)，fxy(x,y)，fyy(x,y)。

                             设 A = fxx(x0,y0) , B = fxy(x0,y0), C = fyy(x0,y0) ;

                             在驻点（x0,y0)  处有如下结论：

如上式 函数 f(x,y) = x*x*x – 4*x*x + 2*x*y – y*y 的二阶偏导为

fxx(x,y) = 6*x - 8; fxy(x,y) = 2; fyy(x,y) = -2;

在驻点（0，0）处，A = -8，B = 2， C = -2 。A*C – B*B = 12 > 0 , A < 0 , 故（0，0）为极大值点。

在驻点（2，2）处，A = 4，B = 2， C = -2 。A*C – B*B = -12 < 0 , A < 0 , 故（2，2）不是极值点。

Tip: 可导函数的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。