泊松分布的通俗理解、推导与应用

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泊松分布（Poisson Distribution）是概率论与数理统计中重要的分布之一，本篇文章将解释泊松分布的具体含义，并推导出泊松分布的概率分布公式及实际应用，以便于更好的理解泊松分布

泊松分布的数学定义

首先来看一下教材中对于泊松分布的定义：

∑ k = 0 ∞ P { X = k } = ∑ k = 0 ∞ λ k k ! e − λ = e − λ ∑ k = 0 ∞ λ k k ! = e − λ ⋅ e λ = 1 \sum_{k=0}^{\infty}P\{X=k\}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{λ^k}{k!} e^{-\lambda}=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{λ^k}{k!} =e^{-\lambda}\cdot{e^{\lambda}}=1 k=0∑∞​P{
X=k}=k=0∑∞​k!λk​e−λ=e−λk=0∑∞​k!λk​=e−λ⋅eλ=1

泊松分布的理解与公式推导

现在老板尝试把营业时间抽象为一根线段，把这段时间用$T$来表示：

从图中看，每个时间段$t$有卖出3个的，有卖出2个的，有卖出1个的，就不再是单纯的“卖出、没卖出”了。不能套用二项分布了。解决这个问题也很简单，把$T$分为20个时间段，那么每个时间段就又变为了抛硬币：

而更普遍的，为了保证在一个时间段内只会发生“卖出、没卖出”，干脆把时间切成$n$ 份，切的非常细，同时每天卖出的馒头数量假设为$k$个，则一天的营业时间$T$时刻内卖出$k$个馒头的概率为：
P { X = k } = lim ⁡ n → ∞ C n k p k ( 1 − p ) n − k P\{X=k\}=\lim_{n \to \infty} C_{n}^{k}p^k(1-p)^{n-k} P{
X=k}=n→∞lim​Cnk​pk(1−p)n−k

在上面的假设下，问题已经被转为了二项分布。二项分布的期望为：

$$E(x)=np=\mu$$

那么每个时间段卖出馒头的概率$p$为：

$$p=\frac{\mu }{n}$$

将$p$代入到上述式子，就有：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{C}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}=\underset{n\to \infty }{\lim }{C}_n^k(\frac{\mu }{n}{)}^k(1-\frac{\mu }{n}{)}^{n-k}$$

计算一下这个极限：

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }{C}_n^k(\frac{\mu }{n}{)}^k(1-\frac{\mu }{n}{)}^{n-k}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{{\mu }^k}{n^k}(1-\frac{\mu }{n}{)}^{n-k} \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}\frac{{\mu }^k}{n^k}(1-\frac{\mu }{n}{)}^{n-k} \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\mu }^k}{k!}\frac{n}{n}\cdot \frac{n-1}{n}\cdots \frac{n-k+1}{n}(1-\frac{\mu }{n}{)}^{-k}(1-\frac{\mu }{n}{)}^n \end{gathered}$$

其中：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n}\cdot \frac{n-1}{n}\cdots \frac{n-k+1}{n}=1$$
$$\underset{n\to \infty }{\lim }(1-\frac{\mu }{n}{)}^{-k}=1$$
$$\underset{n\to \infty }{\lim }(1-\frac{\mu }{n}{)}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }{e}^{nln(1-\frac{\mu }{n})}=\underset{n\to \infty }{\lim }{e}^{n\ast (-\frac{\mu }{n})}=e^{-\mu }$$

所以在$T$时间内卖出$k$个馒头的概率为：：
P { X = k } = lim ⁡ n → ∞ C n k p k ( 1 − p ) n − k = μ k k ! e − μ P\{X=k\}=\lim_{n \to \infty} C_{n}^{k}p^k(1-p)^{n-k}=\frac{\mu^k}{k!}e^{-\mu} P{
X=k}=n→∞lim​Cnk​pk(1−p)n−k=k!μk​e−μ

现在还有一个问题，$\mu$是总体均值，是未知数，所以用刚刚计算了样本均值来近似总体均值,用$\lambda$来代表这个值
P { X = k } = λ k k ! e − λ P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} P{
X=k}=k!λk​e−λ
这就是教科书中的泊松分布的概率分布，实际应用中$\lambda$一般都是时间段$T$内的随机变量的均值，可以通过测量或者历史数据得出。

从上述的推导过程中可以知道泊松分布是将整体无限切分转化为二项分布，这样就解释了泊松分布为何是一个离散型分布，同时也解释了为什么二项分布能在$n$比较大，$p$比较小的情况下近似于泊松分布。

泊松分布的实际应用

1. 一个事件的发生不影响其它事件的发生，即事件独立发生。举个栗子：地震发生的时候主震通常会引起余震，所以预测地震次数为无法使用泊松分布，但预测一段时间主震的次数可以应用泊松分布
2. 事件的发生率是相同的，不能有些区间内发生率高一些而另一些区间低一些；例如我们上面的卖馒头的例子。早上六点到十点可大致看作区间内馒头卖出的概率相同，但是下午卖出馒头的概率和上午可能就不相同了

再回到上面我们的例子，买馒头的顾客是独立的，不会互相影响，且营业时间内买馒头的概率恒定，所以应用泊松分布的概率公式可以求出每天卖出馒头的数量的概率，$\lambda$取值为样本均值5：
P { X = k } = 5 k k ! e − 5 P\{X=k\}=\frac{5^k}{k!}e^{-5} P{
X=k}=k!5k​e−5
具体的概率可以通过泊松分布表查询，也可以按一下计算器。当备货的馒头数为$k$时，够卖的概率就是将小于等于$k$的概率相加
P { X ≤ k } P\{X\leq k\} P{
X≤k}
可以看到如果备货的馒头数为8时，有93%的概率是够卖的，备货的馒头数为7时，有86%的概率是够卖的，而备货的馒头数为5时，有61%的概率是够卖的，这就是确定库存数量的实际案例。

泊松分布的一些其他解释

参考文章：https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/